38. Правило Лопиталя.

Теорема – Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют условиям – 1) определены и дифференцируемы на полуинтервале (a; b]; 2) пределы при хa ; 3) существует предел отношения производных . Тогда существует предел отношения функций , т.е. .

39. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков.

Теорема 1 (признак монотонности) – Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и f’(x)0 на интервале (a; b), то функция f(x) не убывает (не возрастает) на этом интервале. Точка х₀ называется точкой строгого локального экстремума, если для всех х из некоторой ∆-окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x)<f(x₀) (max) или f(x)>f(x₀) (min).

Теорема 2 (необходимое условие локального экстремума) – Если функция имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f’(x₀)=0. Геометрический смысл – Есть точки локального экстремума и в них существуют касательные || Ох – точки стационарные (возможного экстремума). Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума) – Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. Если f’(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с + на -, то точка х₀ – точка max, если наоборот, то – точка min, если же знак не меняется, то экстремума в точке нет. ВЫПУКЛОСТЬ??? Ассимптоты.

40. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функций 2-х переменных. Частные приращения и частные производные.

Функция 2-х переменных – правило, по которому каждой паре чисел (х; y) из множества М соответствует 1 число при условии, что каждое число соответствует хотя бы 1-ой паре (х; у)ϵM. М – область определения функции. Эллиптический параболоид – . Окрестностью точки р₀ (х₀; y₀) называется внутренность круга с центром в этой точке. Число b – предел функции 2-х переменных f(p) при pp₀, если для любого ε>0 есть ∆-окрестность точки P₀(x₀; y₀), что для любой точки P(x; y) имеет место |f(P)-b|<ε – . Функция 2-х переменных – б.м., если . Функция непрерывна в точке P₀, если 1) функция определена в точке P₀; 2) существует ; 3) . Функция непрерывна в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Частная производная – . Обозначается f’_x=(x₀; y₀). Разность f(x₀ + ∆x₀, y₀) – f(x₀; y₀) – частное приращение по х в точке Р₀ и обозначается ∆_хz. Частная производная – f'_x(x₀; y₀) = . Частные производные переменных – функции тех же переменных. Если эти производные взяты по нескольким различным переменным – смешанные производные. Теорема – Смешанные частные производные 1-ой и той же функции, отличающиеся только порядком дифференцирования = между собой при условии их непрерывности.

41. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала функции 2-х переменных к приближенным вычислениям. Частные производные высших порядков.

Функция z=f(x; y) дифференцируемая в точке P(x; y), если ее полное приращение ∆z – . Главная часть приращения функции – полный дифференциал этой функции. Обозначается dz=A∆x+B∆y. Теорема – Если функция z=f(x; y) в точке P(x, y) дифференцируема, то она имеет в точке Р – 1-ые частные производные и , которые равны А и В соответственно. Выражение для дифференциала – . Приближенные вычисления – .