15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Вектор M₁M лежит на прямой и коллинеарен вектору s, поэтому имеем M₁M = t∙s, где t – скалярный множитель (параметр). Векторное уравнение прямой – r = r₁ + t∙s (через радиус-векторы). Параметрические уравнения прямой – ; Канонические уравнения прямой – ; Уравнения прямой, проходящей через 2 данные точки – . Угол между 2-мя прямыми – 1 из 2-х смежных углов, образованных этими прямыми – . Свойства: 1) 2 прямые || если . 2) 2 прямые перпендикулярны, если m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0

16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Прямая и плоскость – 1) Перпендикулярны друг другу тогда, когда n || s, т.е. . 2) || друг другу тогда, когда n ┴ s, т.е. Am + Bn + Cp = 0. Угол между прямой и плоскостью – . Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, необходимо воспользоваться параметрическими уравнениями, а сам параметр мы можем найти так: .

17. Полярная система координат.

Система координат на плоскости – способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ох, называемым полярной осью, и единичным вектором е того же направления, что и луч Ох. Положение произвольной точки на плоскости определяется заданием 2-х чисел… Угол ϕ – полярный угол, r – полярный радиус (все в совокупности является полярными координатами).

18. Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и канонические уравнения. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.

Кривые 2-го порядка – линии, определяемые уравнением 2-ой степени относительно текущих координат. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до 2-х данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Эллипс – овальная замкнутая прямая. Отношение половины расстояния между фокусами к большей полуоси эллипса – эксцентриситет. Прямые – директрисы. Теорема – Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до фокуса, d – расстояние от этой точки до директрисы, то отношение есть постоянная величина = эксцентриситету. Гипербола – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до 2-х данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Гипербола равносторонняя, если ее полуоси =. Ассимптоты такой гиперболы – биссектрисы координатных углов. Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

19. Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.

Поверхность, образованная движением прямой, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую – цилиндрическая поверхность (цилиндр). Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку и пересекающими данную плоскую линию (не проходящую через точку) – коническая поверхность (конус). Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, определяемую уравнением, как поверхность, состоящую из 2-х полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш.