32. Задачи, приводящие к определению производной. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.

Производной y=f(x) в x₀ называется предел отношения приращения функции ∆у к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х0. Обозначается f’(x₀) = . Нахождение производной – дифференцирование этой функции. Механический смысл – Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t . Правой (левой) производной называется правое (левое) предельное значение (). K_кас. = f’(x₀)

Теорема – Если функция U=f(x) имеет производную U’_x в точке х, а функция y=f(U) имеет производную y’_U в точке U, то сложная функция y=f(U(x)) в данной точке х имеет производную y’_x = y’_U ∙ U’_x. Пусть функции y=f(x) и x=g(y) взаимно обратные, тогда если функция y=f(x) имеет производную ≠ 0, то обратная функция имеет производную .

33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х – главная линейная, относительно ∆х, часть приращения функции = произведению производной функции на приращение аргумента (dy(df(x))) – dy = f’(x)∙∆x Дифференциал dy – 1-го порядка. dy = f’(x)dx. Геометрический смысл – Из треугольника МАВ имеем , а поэтому , т.е. дифференциал y=f(x) в точке х = приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

Теорема 1 – Дифференциалы суммы, произведения, частного 2-х дифференцируемых функций – 1) d(U+V)=dU+dV; 2) d(U∙V)=VdU+UdV; 3) . Теорема 2 – Дифференциал сложной функции = произведению производной функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого аргумента – dy=y’_U∙dU. Если дифференциал функции определяется одной и той же формулой, независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента, то это инвариантность (неизменность) формы. – используется для вычислений приближенных значений функций.

34. Основные правила дифференцирования. Основные формулы дифференцирования.

Теорема – Если функция U=f(x) и V=V(x) дифференцируемы в данной точке х, то их сумма, разность, произведение и частность также дифференцируемы в этой точке. 1) ; 2) ; 3) .

35. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Логарифмическая производная функции y=f(x) – производная от логарифма этой функции – . Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций – логарифмическое дифференцирования.

36. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной n-го порядка называется производная от производной предыдущей – . Пусть y=f(x) – дифференцируемая функция, а х – независимая переменная, тогда ее 1-ый дифференциал dy=y’dx – функция аргумента х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал n-го порядка – есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка (предыдущего) – dⁿy=d(d^n-1y)=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Видно, что .

37. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема 1 (Ферма) – Пусть функция f(x) определена на интервале (а; b) и в некоторой точке x₀ этого интервала принимает наибольшие или наименьшие значения, тогда если в х₀ существует конечная производная, то она = 0, т.е. f’(x₀)=0. Теорема 2 (Ролля) – Пусть на отрезке [a; b] определена функция f(x), причем – 1) f(x) непрерывна на отрезке [a; b]; 2) f(x) дифференцируема на интервале (a; b); 3) f(a)=f(b) – тогда существует с из интервала (a; b), в которой f’(c)=0. Теорема 3 (Лагранжа) – Пусть на отрезке [a; b] определена f(x), причем – 1) f(x) непрерывна на отрезке [a; b]; 2) f(x) дифференцируема на интервале (a; b) – тогда существует с из интервала (a; b) такая, что справедлива формула . Теорема 4 (Коши) – Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (a; b). Кроме того g’(x) ≠ 0, тогда существует точка с из интервала (а; b) такая, что справедлива формула .