29. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функций и их классификация.

y=f(x) непрерывная в точке х₀ – 1) f(x) – определена в точке х₀ и ее окрестности 2) существует предел при хх₀ 3) предел при хх₀ = значению функции в точке х₀. Следствие – при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции. Если то f(x) непрерывна справа от 0. Аналогично и слева. Пусть f(x) определена на некотором интервале (а,b). Возьмём произвольную точку 𝑥₀∈(𝑎,𝑏) для любого 𝑥∈(𝑎,𝑏) разность 𝑥−𝑥₀ – приращение аргумента x в точке 𝑥₀, обозначается ∆𝑥. Отсюда 𝒙-𝒙₀=∆𝒙. Разность соответствующих значений 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥₀)−приращение f(x) в точке 𝑥₀ и обозначается ∆𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0), значит ∆𝒚=𝒇(𝒙₀+∆𝒙)−𝒇(𝒙₀), значит,=𝟎 или . y=f(x) непрерывна в точке х₀, если она определена в данной точке и ее окрестности, и выполняется предыдущее равенство, т.е. б.м. значению ∆х соответствует б.м. приращение ∆у. y=f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] если она определена на интервале (𝑎,𝑏) и непрерывна слева в точке а и справа в точке b. Точка 𝒙₀ − точка разрыва y=f(x), если она принадлежит области определения f(x) или её границе и не является точкой непрерывности. 𝒙₀ – точка разрыва 1-го рода, если в этой точке существуют конечные пределы справа и слева, т.е. . При этом: 1) Если А₁=А₂, то точка 𝑥₀ – точка устранимого разрыва; 2) Если А₁≠А₂, то точка 𝑥₀ – точка неустранимого разрыва. |А₁−А₂| - скачок f(x) в точке разрыва 1-ого порядка. 𝒙₀ – точка разрыва 2-ого порядка, если хотя бы 1 из односторонних пределов не существует или = ∞.

30. Свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема – Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны в x₀, тогда функция f(x) g(x); f(x) ∙ g(x); при g(x₀) ≠ 0 – также непрерывны в этой точке. Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых или сомножителей.

31. Свойства функций, непрерывных на отрезке и их геометрический смысл.

Теорема (1-ая теорема Больцано-Коши) – Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах имеет значение разных знаков, тогда существует точка 𝐶∈(𝑎,𝑏), в которой значение 𝑓(𝑐)=0. Геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, по отношению к оси, на другую, пересекает эту ось. Теорема (2-ая теорема Больцано-Коши) – Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причём f(a)=A, f(b) = B. Пусть далее С – число (любое), заключённое между А и В, тогда на отрезке [a,b] найдётся такая точка с , что значение f(x) в этой точке равно C – f(С)=C (Другими словами: непрерывная f(x) при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения). Теорема (1-ая теорема Вейерштрасса) – Если f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке. Геометрический смысл: график f(x) не выходит из полосы, ограниченной y=-M, y=M. Теорема становится неверной, если в ней отрезок [a,b] заменить интервалом (a,b). Теорема (2-ая теорема Вейерштрасса) - Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своё наибольшее и наименьшее значения. f(x)<=f(x₁)=M (max) и f(x)<=f(x₂)=m (min)