23. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.

Пусть y=f(x) определена на всей числовой прямой (-∞; +∞). Число А – предел функции при , если для любого ε>0 существует такое число M=M(ε), что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>M выполняется неравенство |f(x)-A|<ε – . Геометрические смысл – Для любого ε>0 существует число M>0, что для всех х ϵ (-∞; -M) и x ϵ (M; +∞) соответствующие значения f(x)=y попадают в ε-окрестность точки А, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми y=A-ε и y=A+ε.

24. Бесконечно малые функции и их свойства.

Бесконечно малая y=f(x) – при , если . Обозначаются α,β… Пример y=x⁴ при , y=x+5 при . Теорема – Алгебраическая сумма конечного числа б.м. функции есть б.м. Есть 2 б.м. α(х) и β(х) при , значит . Для любого ε>0 и есть ∆>0, что для всех х удовлетворяющих 0<|x-x₀|<∆ выполняется |α(x)|<. Также и для β(x). Имеет место соотношение |α(x)+β(x)|<=ε. Таким образом , т.е. α(x) + β(x) – б.м. Теорема – Произведение ограниченной функции на б.м. функцию – есть функция б.м. Следствие – произведение б.м. на число – есть б.м. и т.к. б.м. ограничена, то произведение 2-х б.м. есть б.м. Теорема – Частное от деления б.м. на функцию, имеющую ≠ 0 предел – есть б.м.

25. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.

Бесконечно большая y=f(x) – при , если для любого M>0 есть ∆>0 зависящее от М, что для всех х=0<|x-x₀|<∆ выполняется |f(x)|>M. Пример y=3^x при . Б.м. и б.б. тесно связаны. Теорема – Если α(х) – б.м. (α≠0), то – б.б. и наоборот. Пусть α(х) – б.м. при , тогда , где , значит – б.б. Аналогично и обратное утверждение. Все док-ва теорем работают и для случая когда

26. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1 – Если f(x) имеет предел = А, то ее можно представить, как сумму числа А и б.м. α(х), т.е. если , то f(x)=A+α(x). Теорема 2 (обратная предыдущей) – Если f(x)=A+α(x), то . Теорема 3 – Предел суммы (разности) 2-х функций = сумме (разности) их пределов – . Пусть , тогда по теореме 1 – f(x)=A+α(x) и ϕ(x)=B+β(x) – б.м. при . Тогда f(x)+ϕ(x)=A+α(x)+B+β(x). Сумма α(x) и β(x) – б.м., тогда по теореме 2 число A+B – предел f(x)+ϕ(x), т.е. . В случае разности все аналогично. Теорема 4 – Предел произведения 2-х функций = произведению их пределов – . В частности , где nϵN. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Теорема 5 – Предел дроби = пределу числителя деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя ≠ 0. Теорема 6 (о пределе промежуточной функции) – если f(x) заключена между 2-мя функциями ϕ(x) и g(x) к одному пределу, то она также к этому пределу, т.е. , то

27. Первый и второй замечательный пределы.

1-ый замечательный предел – 2-ой замечательный предел – , если положить

28. Сравнение бесконечно малых функций.

2 б.м. функции сравниваются с помощью отношения. Сумма, разность и произведение б.м. – есть б.м. Отношения бывают – конечным числом, б.б., б.м. или не стремиться ни к какому пределу. Пусть α(х) и β(х) – 2 б.м. (т.е. ) – 1) Если , где с ϵ R, то α(x) и β(x) б.м. 1-го порядка. Если с=1, то α(x) и β(x) эквивалентные б.м. 2) Если , то α(x) б.м. более высокого порядка, чем β(x). 3) Если , то α(х) б.м. более низкого порядка. 4) Если не существует, то α(x) и β(x) несравнимые б.м. Таковы сравнения б.м. при . Теорема – Предел отношения 2-х б.м. не изменится, если каждую или 1 из них заменить эквивалентной ей б.м. 1). При x0