20. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.

Переменная величина у называется однозначной функцией f от переменной величины х в данной области изменения Х, если каждому значению х ϵ Х соответствует 1 определенное действительное значение y = f(x) ϵ Y (некоторому множеству). Табличный способ задания – таблица логарифмов, квадратных корней. Аналитический способ задания – с помощью формул. Графический способ задания – с помощью графика. Явная функция – y = f(x), неявная функция – F(x;y) = 0. Если y = f(u) и u = ϕ(x) – функции своих аргументов, то y = f(ϕ(x)) – сложная функция. Если y = f(x) разрешимо относительно х, т.е. существует функция x = ϕ(у) такая, что f(ϕ(y)) = у, то функция x = ϕ(y) – обратная функция относительно y = f(x) (необходимо просто в формуле поменять х на у и у на х и разрешить уравнение относительно у).

21. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.

Последовательностью действительных чисел называется функция f(n), определенная на множестве N всех натуральных чисел. Число f(n) называется n-ым членом последовательности и обозначается символом x_n, а формула x_n = f(n) называется формулой общего члена последовательности (x_n)_nϵN. Последовательность называется ограниченной, если существует положительное число M>0, что для любого nϵN выполняется неравенство |x_n| M (если наоборот то неограниченная). Последовательность называется возрастающей, если выполняется неравенство x_n+1 > x_n (c убывающей тоже самое). Все эти последовательности – монотонные. Если все члены последовательности = одному числу, то ее называют постоянной. Число а называется пределом последовательности, т.е. , если для любого числа ε>0 существует N(ε) такой, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n – a|<ε, при этом последовательность – сходящаяся. Интервал (a – ε; a + ε) – ε-окрестность точки а. Геометрический смысл – а является пределом последовательности, если в любой его окрестности содержатся почти все ее члены, т.е. вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.

Сходящаяся последовательность имеет 1 предел. Последовательность без предела – расходящаяся. Постоянная последовательность х_n = c имеет предел = с – . Теорема (Вейерштрасса) – Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел – , предел которой . Число е – неперово число = 2,718281, принято за основание натуральных логарифмов = .

22. Предел функции в точке, односторонние пределы.

Предел функции числа А в точке х₀ – для любого положительного ε есть положительное число ∆, что для всех х ≠ х₀, удовлетворяющих |x-x₀|<∆ выполняется |f(x)-A|<ε = . ∆ зависит от ε. Число А₁ – предел функции y=f(x) cлева в точке x₀, если для любого положительного ε есть положительное число ∆ такое, что при х ϵ (х₀-∆; х₀) выполняется |f(x)-A₁|<ε – . Точно также и с пределом функции справа от х₀. Пределы справа и слева – односторонние пределы. Если существует , т.е. оба односторонних предела А=А₁=А₂. Если А₁≠А₂, то предел не существует. Пусть y=f(x) определена на всей числовой прямой (-∞; +∞). Число А – предел функции при , если для любого ε>0 есть такое положительное число M=M(ε), что при всех х удовлетворяющих |x|>M выполняется |f(x)-A|<ε – .