53. Приложения определенных интегралов к решению задач геометрии и физики.

54. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ду 1-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

ДУ – связывает независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и ее производные f’(x), f”(x) … fⁿ(x) или дифференциалы df, d²f … dⁿf. ДУ в общем виде – F(x, y, y’, …, y⁽ⁿ⁾) = 0. Если искомая функция лишь 1-го аргумента, то ДУ – обыкновенное. ДУ в частных производных – . Порядок ДУ – порядок наивысшей производной ДУ. Общее решение ДУ порядка n – функция y=f(x, C₁, …, C_n). F(x, y, C₁, …, C_n)=0 – общий интеграл. ДУ 1-го порядка – связывает независимую переменную х, искомую функцию у=f(x) и ее производную y’(x) – F(x, y, y’)=0. Процесс нахождения решения ДУ – интегрирование ДУ. Теорема Коши (существования и единственности решения ДУ 1-го порядка) – Если правая часть f(x, y) ДУ y’=f(x, y) и ее частная производная f’_y(x, y) определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных x, y, то какова бы ни была внутренняя точка (x₀, y₀) этой области, данное уравнение имеет единственное решение y=ϕ(x), принимающее при х=х₀ заданное значение у=у₀.

55. ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными.

ДУ с разделяющимися переменными – y’= f₁(x) ∙ f₂(x). Заменим y’= и разделим на f₂(y), умножим на dx – . В итоге интегрируя получим – .

56. Однородные ду 1-го порядка.

ДУ называется однородным, если его можно записать в виде . В однородном уравнении переменные не разделяются, но может быть легко преобразовано в него. Необходимо ввести новую переменную y=xz и продифференцировать – . Разделяя переменные, получаем – Интегрируем – .

57. Линейные ду 1-го порядка.

Линейное ДУ 1-го порядка – . Если f(x) – линейное однородное (наоборот, неоднородное). Для нахождения общего решения есть 2 метода – 1) метод подстановки Бернулли; 2) метод Лагранжа (вариации произвольной прямой). y=uV, y’=u’V+V’u. Подставляем, делим переменные – . Подставляем в начальное, находим u=. Подставляем в y и получаем общее решения.

58. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

ДУ 2-го порядка – F(x, y, y’, y”)=0 или y”=f(x, y, y’). Теорема Коши – Пусть правая часть f(x, y, y’) и ее частные производны f’_y(x, y, y’) и f’_y’(x, y, y’) определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных y, x, y’. Тогда какова бы ни была внутренняя точка из G, данное уравнение имеет 1-ое решения y=ϕ(x), удовлетворяющее начальным условиям y(x₀)=y₀ и y’_x0=y’₀. Простейшие ДУ, допускающие понижение порядка – y”=f(x); y”=f(x, y’); y”=f(y, y’). Рассмотрим y”=f(x). Заменим y’=V(x), тогда y”=V’(x). Уравнение примет вид V’=f(x), тогда V=. Тогда y=.

59. Линейные однородные ду 2-го порядка, свойства их решений.

Линейное ДУ 2-го порядка - . Если b(x) = 0, то однородное. Теорема 1 – Если функции y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) являются решениями ЛОДУ, то и функция y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x) тоже решение этого уравнения при любых С. Фундаментальная система решений – 2 частных решения y₁(x) и y₂(x) на интервале (α; β), если ни в одной точке этого интервала определитель Вронского Теорема 2 (о структуре общего решения) – Если 2 частных решения образуют на интервале фундаментальную систему, то общее решение – y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x). При этом все коэффициенты а непрерывны и ≠ 0 на этом интервале. 2 функции линейно-зависимые на интервале, если существуют такие числа λ₁ и λ₂, из которых хотя бы 1 ≠ 0 и выполняется равенство λ₁у₁(х)+λ₂у₂(х)=0. Если же оба числа = 0, то функции линейно-независимые. Если 2 частных решения линейно-зависимые, то они не образуют фундаментальную систему.