17 Работа силы Примеры вычисления работы. Мощность. Кинетическая; энергия.

Мощность.

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

,

где t - время, в течение которого произведена работа A. В общем случае

.

Следовательно, мощность равна произведению касательной состав­ляющей силы на скорость движения.

Примеры вычисления работы.

1) Работа силы тяжести. . Пусть точка М, на которую действует сила тяжести  , перемещается из положения М_­0 (x­₀, у₀, z₀) в положение M₁ (х₁, у₁, z₁). Выберем оси координат так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх (рис.19).

         

Рис.19               

 

Тогда Р_x=0, Р_y=0, P_z= -Р. Подставляя эти значения и учитывая перемен­ную интегрирования z:

.                                           

Если точка M₀ выше М₁, то  , где h-величина вер­тикального перемещения точки;             

Если же точка M₀ ниже точки M₁ то  .

Окончательно получаем:   .

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со зна­ком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной. Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения.

Силы, обла­дающие таким свойством, назы­ваются потенциальными.

2) Работа силы упругости. 

3) Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис. 21) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю fN, где f-коэффициент трения, а  -нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, F_тр=-fN и по формуле

.

Если величина силы трения постоянна, то  , где s-длина дуги кривой М₀М₁ по которой перемещается точка.  

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги М₀М₁ . Следовательно, сила трения является силойнепотенциальной.

4) Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, которая равняется половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.        Кинетическая энергия:

• характеризует и поступательное и вращательное движения;

• не зависит от направления движения точек системы и не характеризует изменение этих направлений;

• характеризует действие и внутренних и внешних сил.

    Кинетическая энергия системы равняется сумме кинетических энергий тел системы. Кинетическая энергия зависит от вида движения тел системы.

18 Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях его движения. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В РАЗНЫХ СЛУЧАЯХ ЕГО ДВИЖЕНИЯ
Поступательное Движение	Вращательное Движение		Плоское движение				Общий случай движения
Теорема Кенига. Кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии в его вращательном движении вокруг центра масс. T=Tc+T’.
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы Изменение кинетической энергии системы на некотором перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе на том же перемещении T-To=Ak(e)+Ak(i)
РАБОТА СИЛЫ
Элементарная работа равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения Полная работа:					Частные случаи вычисления работы
					1	F=const;=const; точка приложения силы движется по прямой		A=Fs cos 
					2	Сила направлена  перемещению		A=0 
					3	Сила F приложена к телу вращающемуся относительно оси z		A=mz(F)d d-элементарный угол поворота mz(F)- момент силы F относительно оси z
Уравнения Лагранжа 2 рода
, s- число степеней свободы системы с голономными связями; T- кинетическая энергия системы; –обобщенные координаты и обобщенные скорости; Qi –обобщенные силы.				Правило для вычисления обобщенных сил. Чтобы вычислить обобщенную силу Q1 необходимо: Дать системе возможное перемещение такое, что q1>0, а остальные обобщенные координаты q2, q3,…, qs, остались неизменными. Вычислить на таком перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил Aq1. 3. Qi=Aq1/q1.
План решения задачи на составление уравнений Лагранжа 2 рода для механической системы. Определить количество степеней свободы и выбрать обобщенные координаты. Изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке все активные силы. Вычислить по правилу все обобщенные силы. Определить кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении через обобщенные координаты и обобщенные скорости . Посчитать частные производные от Т. Подставить их в уравнение Лагранжа 2 рода.

19 силовое поле и силовая функция. Критерии потенциальности силового поля. Потенциальная энергия. Потенциальная энергия силы упругости. Закон сохранения.полной механической энергии материальной точки.

Потенциальное силовое поле.

Силовым полем называется область, в каждой точку которой, на помещённую в неё материальную точку действует сила однозначно определённая по величине и направлению в любой момент времени.

Силовое поле определяется уравнениями:

.

Силовое поле называется не стационарным, если поле зависит явно от времени; истационарным, если не зависит от времени t явно.

Будем рассматривать только стационарные силовые поля.

Стационарное силовое поле называется потенциальным, когда существует однозначная скалярная функция  , зависящая только от координат точки и такая, что проекция силы на декартовые оси координат равны соответствующим частным производным этой функции U: