Статистические показатели

После завершения этапа сводки и группировки данных переходят к обработке статистических таблиц путем вычисления статистических показателей. Статистический показатель – количественная характеристика социально-экономических явления и процессов в условиях качественной определенности. Качественная определенность – суть самого явления или процесса (пример, рождаемость, смертность, валовый внутренний продукт, уровень личных доходов, качество жизни). Количественная характеристика – число соответствующей единицы измерения для определения размера явлений, для определения их уровня и соотношений.

1. Абсолютные показатели

Абсолютные показатели отражают физические размеры изучаемых процессов и явлений, а именно уровень, объем, численность. Единицами измерения абсолютных показателей могут быть: 1. Натуральные единицы измерения (кг, м, шт. и т.д.); 2. Стоимостные (рубли, доллары и т.д.); 3. Трудовые единицы (человек-часы, человек-дни); 4. Единицы измерения могут быть условно натуральные (эталон, норма, план, условная единица (валюта)). Перевод в условно натуральные единицы измерения осуществляется на основе специальных коэффициентов, которые рассчитываются как отношение потребительских свойств объекта исследования к эталонному значению.

k_п = потр. св-а объекта / эталонное значение

X_усл = k_п * X_нат

Пример: добыто 23, 8 млн тонн нефти, зная теплоту ее сгорания 45 мдж/кг, и теплоту сгорания условного топлива 29,3 мдж/кг, определите какому объему условного топлива соответствует добытый объем нефти.

k_п = потр. св-а объекта / эталонное значение = 45/29,3 = 1,536

k – коэффициент пересчета, показывает во сколько раз нефть выделяет больше тепла, чем условное топливо

Добытому объему нефти эквиваленты 36,6 млн тонн условного топлива.

2. Относительные показатели: структуры, планового задания, реализации плана, динамики, интенсивности, координации, сравнения

В статистической практике широко применяются относительные показатели для аналитических целей. Относительный показатель – обобщающая количественная величина, которая выражает соотношение между сравниваемыми абсолютными величинами. Единицы измерения: 1. Коэффициент показывает во сколько раз сравниваемый абсолютный показатель в числителе превышает базовый абсолютный показатель ОП = сравниваемая вел. / база сравнения; 2. Проценты показывают, какую долю сравниваемый показатель составляет от базы сравнения; 3. Проммили – величина, приходящаяся на 1000 единиц базы сравнения. Все относительные показатели можно разделить на 7 видов:

• Относительные показатели динамики (ОПД) выражает соотношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени и уровня этого же процесса в прошлом. ОПД = Факт. вел. Т / факт. вел. Т_баз. *100% Различают ОПД с постоянной базой сравнения (базовые) и с переменной базой сравнения (цепные).

	1990	2000	2010
ВВП на душу населения	4000 (долларов)	10000	15000
ОПДб	-
ОПДц	-

• Относительный показатель планового задания – отношение фактически достигнутого уровня к плановому заданию.

ОПП = план_T / факт_(T-1) характеризует насколько объем работ в будущем периоде по плану превысит фактически выполненный объем работ.

Факт₂₀₁₂ = 150 т. Авто

План₂₀₁₃ = 170 т. Авто

170/150 = 1.13 => 113%

Планируем, что в следующем году объем продаж автомобилей составит 113% от текущего объема продаж 2012.

• Относительный показатель реализации плана отражает фактический объем операций в процентах или коэффициентах по сравнению с плановым уровнем.

ОПРП = факт_Т / план_Т

план = 170 т. Авто

факт = 183 т. Авто

183/170 = 1.1 => 110%

Фактические объемы продаж в 2013 году составили 110% от планируемого уровня.

Взаимосвязь между относительным показателем плана и относительным показателем реализации плана ОПД = ОПП * ОПРП

• Относительный показатель структуры характеризует состав структуры совокупности и показывает долю отдельных составляющих совокупности в общем объеме этой совокупности.

ОПС = показатель, характеризующий часть совокупности / показатель, характеризующий всю совокупность * 100%

• Относительный показатель интенсивности (ОПИ) характеризует отношение разноименных, но взаимосвязанных между собой величин, если объемы явлений не значительны относительно объемов среды, то их увеличивают в сто, тысячу и 10 тысяч раз, и соответственно показатель измеряется в процентах, промилле, продецемилле.

ОПИ = уровень явления / среда распространения явления

• Относительный показатель координации (ОПК) характеризует соотношение разных структурных единиц одной совокупности.

ОПК = Уровень части совокупности / уровень другой части этой совокупности

Оцените нагрузку, которая ложится на экономически активное население в связи с необходимостью пенсионного обеспечения лиц старше 50 лет, если экономически активное население составляет 70 млн человек, а лица старше 50 лет 50 млн человек.

50/70 = 0.7

• Относительный показатель сравнения (ОПСР) характеризует, как соотносятся между собой одноименные показатели, принадлежащие к разным объектам, но взятые в один период времени.

Два вида:

1. Относительные показатели пространственного сравнения показывают отношения размеров или уровней одноименных показателей по разным территориям или объектам

2. Относительные показатели сравнения со стандартом (с эталоном, нормативом или оптимальным уровнем)

ОПСР = показатель по объекту А / показатель по объекту Б

3. Средние показатели, методы расчета средних

Средние величины позволяют оценить изменения признака, которые происходят под влиянием основных факторов и абстрагироваться от влияния случайных факторов. Это происходит потому, что при расчете средних значения признака, полученные под влиянием случайных факторов, взаимно погашаются.

Средней величиной называется обобщенный количественный показатель характерного уровня массовых однородных явлений, который складывается под воздействием общих причин и условий развития.

Условные обозначения:

• ̅x – среднее значение признака

• x_j – индивидуальное значение признака для каждой единицы статистической совокупности

• m_j = f_j – частота повторения определенного значения признака в статистической совокупности, к средним вес

• w_j - объем значений признака

• w_j = x_j * m_j

• N - количество единиц совокупности

Для расчета любой средней важно правильно записать исходное соотношение средней (ИСС). Для каждой средней величины правильное ИСС только 1.

ИСС = суммарное значение усредняемого признака / N

В зависимости от того какими данными мы располагаем среднюю можно вычислить сразу по ИСС, но иногда необходимо рассчитать числитель или знаменатель этого соотношения. В связи с этим на практике применяются разные методы расчета среднего.

1. Среднеарифметическое. Применяется, когда известны индивидуальные значения признака и количество единиц в статистической совокупности.

   1. Средняя арифметическая простая

x̅ = ∑ x_j / N

2. Взвешенное

x̅ = ∑ x_j * m_j / N

m - вес

№	Численность персонала, чел	Фонд з/п, т.р.	Средняя з/п, руб
j	Графа 1	Графа 2	Графа 3
1	540	564,84	1046
2	275	332, 75	1210
3	458	517, 54	1130
Итого	1273	1415,13	x̅

ИСС = ∑фонд з/п / ∑ численность персонала

Предположим, что мы не располагаем данными графы 2, но есть информация о средней з/п на каждом из 3 предприятий, которая приведена в графе 3 и графа1. В этом случае воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной. В графе 1 указан вес, а в графе 3 x_j.

2. Среднегармоническое. Применяется, когда известен общий объем признака w_j и x_j, но не известна частота m_j

m_j = w_j / x_j

x̅ = ∑ w_j / ∑ (w_j / x_j)

Пример: теперь известны данные по графе 2 и 3, но не известна графа 1, ее будем рассчитывать. Тогда для исчисления средней нужно воспользоваться методом средней гармонической.

3. Среднеквадратическое. Используется для определения показателей вариации признака (дисперсии и среднеквадратического отклонения).

4. Среднегеометрическое. Применяется для вычисления среднегодовых темпов роста

5. Структурно средний.

   1. Мода (М_о) – значение признака, которое чаще всего повторяется в ряду распределения.

2. Медиана (М_е) – значение признака, которое делит ранжированный ряд на 2 равные по объему части.

1. Понятие вариации и задачи статистики по ее изучению.

Вариация единиц или признака единиц статистической совокупности – различие значений признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Вариация присуща всем без исключения социально-экономическим процессам и явлениям.

3 вида вариации:

• Альтернативная (признак принимает только 2 значения, взаимоисключающие друг друга). Например, пол (женский иди мужской), трудоспособность, все вопросы, на которые в опросных листах предлагается вариант ответа «да» или «нет».

• Систематическая (изменение признака в определенном направлении, если только это изменение не обусловлено внутренними законами развития явления).

• Случайная (вариация, не имеющая ярко выраженного направления, то есть изменчивость признака не предсказуемо). Возраст, гражданство.

Наличие вариации признаков ставит перед статистикой задачу по ее изучению.

• Определение меры вариации, то есть, как можно вариацию измерить

• Нахождение общих характеристик вариации и их анализ

2. Основные обобщающие показатели вариации: абсолютные и относительные

Показатель вариации – числовая мера или оценка колеблемости признака в совокупности. По размеру показатель вариации можно одновременно сделать вывод. Во-первых, по типичности и надежности средней величины, рассчитанной для данной совокупности, во-вторых, об однородности самой совокупности. Для измерения вариации применяются абсолютные (те же единицы измерения, что и признак, исключение – дисперсия) и относительные (%) показатели.

1. Абсолютные показатели вариации

• R = X_max - X_min

Размах вариации. Недостатком данного показателя является то, что он зависит только от крайних значений признака и не учитывает колеблемости основной массы значения признака в изучаемой совокупности.

• Среднее линейное отклонение

d̅= (∑ (|x_j - x̅| * m_j ) / ∑ m_j

• Среднее квадратическое отклонение для несгруперованных данных

ɓ’ = √∑( x_j - x̅ )² / N

Для сгрупперованных данных

ɓ = √ ∑ ( x_j - x̅ )² * m_j / ∑ m_j

• Дисперсия для несгрупперованных данных

ɓ² = ∑( x_j - x̅ )² / N

Для сгрупперованных

ɓ² = ∑ ( x_j - x̅ )² * m_j / ∑ m_j

Безразмерная величина из-за квадрата в формуле. Показывает средний квадрат отклонений.

ɓ² = x̅ ² – ( x̅ )²

3. Свойства дисперсии, виды дисперсии и правила сложения дисперсии.

Свойства:

• Дисперсия постоянной величины = 0

• При вариации из всех значений признака некоторой постоянной величины А дисперсия не изменится. Если из всех значений признака вычесть одно и тоже число, то значение дисперсии не изменится.

• При сокращении или увеличении всех значений признака на постоянную величину d дисперсия уменьшится или увеличится соответственно в d² раз.

• Средний квадрат отклонений значений признака от постоянной величины А больше дисперсии признака на квадрат разницы между средней арифметической и константой А.

ɓ² = ∑( x_j - А ) * m_j / ∑ m_j - ( x_j - А )²

На этих свойствах дисперсии основаны метод расчета дисперсии – метод моментов.

ɓ² = d² * (ɱ₂ - ɱ₁²)

ɱ₁= ∑(( x_j - А ) / d) * m_j / ∑ m_j

ɱ₂ = ∑(( x_j - А ) / d)² * m_j / ∑ m_j

Виды дисперсии и сложение дисперсии

Если изучается совокупность по размерам вариации, то различают следующие виды вариации:

• Общая

ɓ_общ² = ∑ ( x_j - x̅_общ )² * m_j / ∑ m_j = x̅ ² – ( x̅ )²

x̅_общ по совокупности

• Межгрупповая. Отражает систематическую вариацию, то есть те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки.

ɓ_м² = ∑ (x̅_j - x̅_общ )² * m_j / ∑ m_j

x̅_{j –} среднее по группе

m_j – число единиц в определенной группе

• Внутригрупповая. Характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием неучтенных факторов и независимую от фактора положенного в основу группировки.

ɓ_в² = ∑ (x_j - x̅_j )² * m_j / ∑ m_j

m_j – значение признака, повторяющееся в рамках конкретной группы

Размер вариации определяется путем расчета дисперсии по каждому виду вариации. Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака (значение признака).

Правило сложения ɓ_общ² = ɓ_м² + ɓ̅_в²

ɓ̅_в² = ɓ_в² * m_j / N

Величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии.

Правила сложения дисперсии используются в статистике для определения степени связи между изучаемыми признаками.

Метод аналитических группировок с применением правила сложения дисперсии позволяет определить тесноту связи между признаками с помощью эмпирического корреляционного отношения.

Коэффициент детерминации показывает какую часть общей вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая, то есть вариация обусловленная признаком, положенным в основу группировки.

ŋ² = ɓ_м² / ɓ_общ²

ŋ = √ŋ² = √ ɓ_м² / ɓ_общ²

Данное отношение характеризует тесноту связи между признаками группировочным и результативным. Может принимать значение от 0 до 1. Чем ближе к 0, то связь слабее, если ближе к 1, то сильнее, а если = 0, то связи нет, а если = 1, то связь функциональная.

4. Структурные средние: мода и медиана