6. Строение множества решений системы линейных одно-

родных уравнений.

Все решения линейной однородной системы уравнений являются линейными комбинациями линейно независимых n − r решений этой системы, где n - число неизвестных, r - ранг матрицы коэффициентов

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем систему в форме x1*u1 + x2*u2 + . . . + xn*un = 0, где u1, u2, . . . , un - столбцы матрицы коэффициентов. Среди них имеется базис из r столбцов. Для удобства записи будем считать, что это u1, u2, . . . , ur, иначе можно изменить нумерацию неизвестных системы и, вместе с ними, нумерацию столбцов. Итак, пусть столбцы ur+1, ur+2, . . . , un являются линейными комбинациями столбцов u1, u2, . . . , ur , т. е.

ur+1 = br+1,1u1 + br+1,2u2 + . . . + br+1,r ur,

ur+2 = br+2,1u1 + br+2,2u2 + . . . + br+2,r ur,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

un = bn1u1 + bn2u2 + . . . + bnr ur,

Перепишем эти соотношения в виде:

br+1,1u1 + br+1,2u2 + . . . + br+1,r ur − ur+1 = 0,

br+2,1u1 + br+2,2u2 + . . . + br+2,r ur − ur+2 = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

bn1u1 + bn2u2 + . . . + bnr ur − un = 0.

Отсюда следует, что столбцы

zr+1 = (br+1,1, br+1,2, . . . , br+1,r, −1 , 0, . . . , 0)^T

zr+2 = (br+2,1, br+2,2, . . . , br+2,r, 0, −1, . . . , 0)^T

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

zn = (bn,1, bn,2, . . . , bn,r, 0, 0, . . . , −1)^T

являются решениями системы.

Эти столбцы линейно независимы. Действительно, пусть

cr+1*zr+1 + cr+2*zr+2 + . . . + cn*zn = 0. … следовательно cr+1 = 0 , cr+2 = 0 , . . . , cn = 0

Пусть

x = (x’1, . . . , x’r , x’r+1, . . . , x'n)

еще какое-нибудь решение системы. Тогда y = x + x’r+1zr+1 + . . . + x’n*zn тоже является решением системы. В этом решении все компоненты, начиная с (r + 1) -ой, равны нулю. Следовательно, и все остальные компоненты равны нулю, так как столбцы u1, u2, . . . , ur линейно независимы. (В противном случае, y’1 ,y’2 , . . . , y’r - числа, не равные одновременно нулю и такие, что y’1 u1 + y’2 u2 + . . . + y’r*ur = 0.) Итак, y = 0 , т. е. x = −x’r+1*zr+1 − . . . – x’n*zn. Таким образом, zr+1, . . . , zn - такие линейно независимые решения, что все решения системы являются их линейными комбинациями.

7. Теорема Кронекера-Капелли.

Для того чтобы система линейных уравнений была совместной (т. е. имела хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем систему в виде

x1 u1 + x2 u2 + . . . + xn un = b, где u1, u2, . . . , un столбцы матрицы коэффициентов и b - столбец свободных членов.

Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы столбец b был линейной комбинацией столбцов u1, u2, . . . , un. Для этого равенство рангов необходимо (это очевидно) и достаточно. Действительно, если ранги одинаковы, то базис для системы столбцов u1, u2, . . . , un будет базисом и для системы столбцов u1, u2, . . . , un, b , так что b есть линейная комбинация базисных столбцов для множества столбцов u1, u2, . . . , un