3. Ранг матрицы (теорема 1.9).

Ранг множества строк прямоугольной матрицы равен рангу множества ее столбцов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

a11 a12 . . . a1n

А= a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

Пусть ранг множества строк матрицы A равен k. Тогда найдется базис из k строк, т. е. такое линейно независимое множество строк, что все остальные строки являются их линейными комбинациями. Будем для определенности считать, что это первые k строк матрицы A, иначе изменим их нумерацию. Рассмотрим матрицу, состоящую из этих строк

a11 a12 . . . a1n

~A= . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 . . . akn

Столбцы матрицы ∼ A являются отрезками столбцов матрицы A. Выберем базис столбцов матрицы ∼ A. Пусть число столбцов, составляющих базис, равно r. Все столбцы матрицы ∼ A являются линейными комбинациями столбцов базиса. Ясно, что r меньше равно k. Пополним выбранные столбцы базиса до полных столбцов матрицы A. Получившиеся столбцы линейно независимы и по лемме 1.4 все столбцы матрицы A являются их линейными комбинациями. Таким образом, мы построили базис множества столбцов матрицы A, состоящий из r столбцов, причем r меньше равно k. Итак, ранг множества столбцов матрицы не превосходит ранга множества ее строк. Аналогичным образом доказывается, что ранг множества строк матрицы не превосходит ранга множества ее столбцов. Следовательно, эти ранги равны. Теорема доказана.

4. Ранг матрицы в терминах определителей.

Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров этой матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ранг матрицы равен k. Тогда в любом миноре порядка k + 1 и выше (если их можно составить) будут линейно зависимые строки, а значит, все такие миноры равны нулю. Далее, в матрице имеется базисная совокупность из k строк и базисная совокупность из k столбцов. Рассмотрим субматрицу, образованную элементами из этих строк и столбцов. Ее строки линейно независимы, так как в противном случае по лемме 1.4 соответствующие полные строки исходной матрицы были бы линейно зависимы. Следовательно, определитель порядка k так выбранной субматрицы отличен от нуля.

5. Определение ранга матрицы с помощью элементарных

преобразований.

Любая матрица за счет элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановок столбцов может быть преобразована в трапециевидную матрицу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если матрица не нулевая, то она содержит ненулевой элемент, который с помощью перестановок строк и столбцов можно переместить в левый верхний угол матрицы. Итак, пусть матрица имеет вид

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n причем a11 не равно 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

Выполним следующие элементарные преобразования: ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на −a21/a11, к третьей прибавим первую, умноженную на −a31/a11 и т. д. После этих преобразований получим матрицу

a11 a12 . . . a1n

0 a′22 . . . a′2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 a′m2 . . . a′mn

Если матрица a′

22 . . . a′2n

. . . . . . . . . . . . .

a′m2 . . . a′mn

является нулевой, то процесс окончен. Если эта матрица ненулевая, то сначала за счет перестановок строк и столбцов добьемся того, чтобы элемент в позиции a′22 стал отличен от нуля. Затем добавим к третьей строке вторую, умноженную на −a′32/a′22 и т. д. Получим матрицу

a11 a12 a13 . . . a1n

0 a′22 a′23 . . . a′2n

0 0 a′′33 . . . a′′3n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 a′′m3 . . . a′′mn

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не исчерпаем все строки или не придем к очередной матрице, равной нулевой матрице. В результате получим трапециевидную матрицу.