§ 2. Функциональные последовательности и ряды

1˚. Последовательности функций

Пусть Х – некоторое множество вещественных чисел, и пусть каждая из функций f₁, f₂, …, f_k, … определена на этом множестве. Будем говорить, что на множестве Х определена последовательность функций (или функцио -нальная последовательность) или .

Пусть . Рассмотрим последовательность { f_k (х₀) значений функций в точке x₀ . Это числовая последовательность. Если она сходится, то говорят, что функциональная последовательность {f_k}сходится в точке x₀ , а x₀ назы- вают точкой сходимости этой функциональной последовательности. Сово -купность Х₀ всех точек сходимости называют множеством сходимости функ- циональной последовательности {f_k}.

Пусть Х₀ есть множество сходимости функциональной последовательности {f_k}. Определим на Х₀ функцию f₀ , положив для каждого х, принадлежащего этому множеству, значение f₀(x) равным пределу числовой последовательности {f_k(x)}: . Эту функцию называют предельной функ- цией функциональной последовательности {f_k}. Говорят также, что функцио- нальная последовательность {f_k} сходится на множестве Х₀ к функции f₀ , и записывают : .

Пример 1. Рассмотрим последовательность , где при любом вещественном х . Таким образом , последовательность = , , … определена на всем множестве R. Предел равен нулю при

-1< x < 1 и единице при х = 1; он не существует при х = -1 и равен бесконечности, если |x| >1. Значит, множеством сходимости этой последовательности является промежуток (-1; 1]; значения ее предельной функции f₀ равны нулю для всех х на интервале (-1;1), а f₀ (1) = 1.

Пример 2. Рассмотрим последовательность , где при любом вещественном х . При любом х

Следовательно, множеством сходимости этой последовательности будет вся числовая ось, а ее предельная функция есть .

2˚. Равномерно сходящиеся последовательности функций

Пусть Х₀ есть множество сходимости для , а f₀ - ее предельная функ- ция. Выберем некоторое . Тогда числовая последовательность сходится к числу , т.е.

N N ( ).

Заметим, что при фиксированном ε число k_ε зависит, вообще говоря, от выбора х. В тех случаях, когда такой зависимости нет, говорят о равномер- ом стремлении функциональной последовательности к ее предельной функ- ции. Приведем строгое определение, описывающее подобные случаи.

Пусть Е – некоторое множество, содержащееся в Х₀ ( случай Е=Х₀ не исключен).

Определение. Будем говорить, что последовательность сходится к функции f₀ равномерно на множестве Е и будем при этом записывать , если

N k N x R ( (k > k_ε) .

В этом определении число k_ε не зависит от выбора х в множестве Е : если k > k_ε , то неравенство |f_k (x) – f₀(x) | < ε справедливо сразу для всех х , при -надлежащих Е.

Пример 3. Пусть , а Е = [0 ; α ], где 0 <α <1. Покажем, что равномерно сходится на Е к f₀ ,где f₀ (х) ≡ 0 на Е.. Действительно, при всяком . Зададим некоторое ε > 0. Так как , найдется натуральное k_ε такое, что при всех k > k_ε выполняется Тогда при тех же k и всяком < ε, т. е. последовавательность удовлетворяет на множестве Е = [0;α ] сфор- мулированному выше определению.

Итак, рассматриваемая последовательность равномерно сходится на сег- менте [0 ; α ] , где α – любое положительное число, меньшее единицы. Вмес- те с тем, на сегменте [0 ; 1] эта последовательность равномерно сходящейся не является. В самом деле, пусть k – некоторое натуральное число ; рассмотрим разность f_k (x) – f₀ (x). При имеем: f_k (x) – f₀ (x) = . Очевидно, . По теореме о стабилизации знака неравенства ([3], п.4.5) существует δ_k > 0 такое, что для всех справедливо | f_k(x) – f₀(x) | = . Таким образом, при любом натуральном k на [0 ; 1] имеются точки х такие, что| f_k(x) – f₀(x) | . Отсюда следует, что для ε = ½. нельзя указать k_ε , обладающее тем свойством, что при k > k_ε неравенство справедливо для всех точек сегмента [0 ; 1].

Теорема 1. ( О непрерывности предельной функции ) Пусть последова- тельность сходится к предельной функции f₀ равномерно на проме- жутке . Если функции этой последовательности непрерывны на , то и предельная функция f₀ непрерывна на этом промежутке.

► Пусть . Докажем: , т.е.

Пусть k- некоторое натуральное число, а х принадлежит . Имеем:

| f₀ (x) – f₀ (x₀) | = | f₀ (x) – f_k (x) + f_k (x) - f_k (x₀) + f_k (x₀) – f₀ (x₀) | ≤

≤ | f₀ (x) – f_k (x) | + | f_k (x) - f_k (x₀) | + | f_k (x₀) – f₀ (x₀) | = I + II + III .

Зададим некоторое ε > 0. Так как , то найдется натуральное k_ε такое, что при всех k > k_ε справедливо:

I = | f₀ (x) – f_k(x) | и III = | f_k (x₀) – f₀ (x₀) | .

Выберем какое-нибудь k , k > k_ε . При таком k имеем:

| f₀ (x) – f₀(x₀) | = I + II + III + | f_k (x) - f_k (x₀) |.

Так как функция f _k непрерывна в точке x₀, существует δ > 0 такое, что

.

Отсюда : если |x-x₀| < δ, то | f₀ (x) – f₀(x₀) | + | f_k(x) - f_k(x₀) | < ε.

Здесь ε – любое положительное число, значит, , где x₀ - любая точка промежутка ( если х₀ совпадает с одним из концов промежутка, речь идет об односторонних пределах ). Тем самым доказана непрерывность f₀ в точке х₀. Но х₀ - любая точка промежутка. Значит , f₀ непрерывна .на . ◄

Замечание. Если последовательность непрерывных функций не является равномерно сходящейся, ее предельная функция может оказаться разрывной. Так, последовательность непрерывных функций, рассмотренная в примере 3 не является равномерно сходящейся на множестве [-1 ; 1], и ее предельная функция терпит разрыв в точке х = 1.

Теорема 2. (О предельном переходе под знаком интеграла ) Пусть после- довательность сходится к функции f₀ равномерно на сегменте [a ; b]. Если функции этой последовательности непрерывны на [a ; b], то

.

► Обозначим : I_k = , I = . Нужно доказать: I_k → I, т.е.

N N ( k > k_ε | I_k – I | < ε )

Зададим ε > 0. Так как , найдется k_ε такое, что при всех k > k_ε и всех х справедливо . Пусть k > k_ε ; тогда

| I_k – I | = | | .

Здесь ε – любое положительное число; значит, I_k → I. ◄

Замечание. Доказанной теореме можно дать следующую формулировку: если - равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функ- ций,то знак предела можно внести под знак интеграла:

.