5.1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и однородные дифференциальные уравнения

1-го порядка.

1)Основные понятия.

Определение 5.1.1.

Дифференциальным уравнением(ДУ) называется уравнение, содержащее производные.

Определение 5.1.2.

Порядком ДУ называется порядок высшей производной входящей в это уравнение.

Определение 5.1.3.

Обыкновенным ДУ n-го порядка называется уравнение вида:

(5.1.1.)

Определение 5.1.4.

Обыкновенным ДУ 1-го порядка называется уравнение вида:

(5.1.2.)

Определение 5.1.5.

Обыкновенным ДУ 1-го порядка разрешенным относительно производной называется уравнение вида: (5.1.3.)

Определение 5.1.6.

Функция у=у(х) (5.1.4.), подстановка которой в (5.1.2.)или в (5.1.3.) превращает это уравнение в тождество, называется его частным решением.

Определение 5.1.7.

Выражение Ф(х,у)=0 (5.1.5.), которое определяет решение (5.1.2.) или (5.1.3.) как неявную функцию, называется частным интегралом этого уравнения.

Определение 5.1.8.

Функция у=у(х,с) (5.1.6) называется общим решением (5.1.2.) или (5.1.3.), если при любом с оно является частным решением этого уравнения.

2. Теорема существования и единственности.

Теорема 5.1.1.

Если уравнение (5.1.3.) функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области D на плоскости ХОУ, содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения у=у(х) (5.1.7.) удовлетворяющее условию у₀=у(х₀) (5.1.8.).

3. Постановка задач приводящих к ДУ 1-го порядка.

Задача.

Дано семейство окружностей: х² + у² =2ах. Найти дифференциальное уравнение для этого семейства.

Решение.

х² + у² =2ах (х-а)² + у² = а² .

Дифференцирование этого уравнения по х и исключениеадаёт:

2х + 2уу’= 2а х + уу’= а х² + у² =2ах х² + у² =2(х + уу’)х

у²- х²=2хуу’

4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделёнными переменными.

Определение 5.1.9.

Д.у. вида M(x)dx + N(y)dy =0 (5.1.9.) называется д.у. 1-го порядка с разделёнными переменными.

5. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение 5.1.10.

Д.у. вида M₁(x)N₁(x)dx + M₂(x)N₂(y)dy =0 (5.1.9^*.) называется д.у. 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Сведение д.у. 1-го порядка с разделяющимися переменными к д.у. 1-го порядка с разделёнными переменными:

(5.1.10)

Типовой пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Это уравнение можно записать в виде

Отсюда, разделяя переменные, будем иметь:

Проинтегрировав, получим ,

где произвольная постоянная взята в логарифмическом виде. После потенцирования получим общий интеграл

.

6. Понятие однородной функции и однородного д.у. 1-го порядка.

Определение 5.1.11.

Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения относительно х и у, если при любом справедливо тождество

(5.1.11)

Определение 5.1.12.

Д.у. 1-го порядка называется однородным, если f(x,y)функция однородная нулевого измерения, то есть .

7. Решение однородного д.у 1-го порядка.

y’=f(x,y)= . Пусть , тогда . Пусть , тогда

Типовой пример.

Решить уравнение (*).

Решение.

Проверим, является ли это уравнение однородным

У словие однородности выполнимо, поэтому полагаем y=ux. Тогда .

Подставим в (*) y и , или

- уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные, для этого умножим обе части уравнения на dx и разделим на х (1+2u), получим .

Проинтегрировав, получим или .

Подставив вместо u отношение , получим общий интеграл уравнения (*)

.