Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции 2 семестр.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
934.08 Кб
Скачать

Тема 4.6Приложение кратных интегралов.

4.6.1 Приложение двойных интегралов.

4.6.2 Приложение тройных интегралов.

4.6.3 Приложение криволинейных интегралов.

4.6.1 Приложение двойных интегралов.

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

(4.6.1)

Типовой пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Решение.

Линии пересекаются в двух точках: (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси ОХ графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси ОУ – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

(4.6.2)

3) Вычисление объемов тел.

Объём Vцилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z=0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезывающей на плоскости ХОУ область S, равен:

(4.6.3)

Типовой пример.

Вычислить объём, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1, x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Решение.

Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;

.

4)Вычисление моментов инерции плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область S) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси ОХ: (4.6.4)

- относительно оси ОУ: (4.6.5)

- относительно начала координат: . (4.6.6)

5) Вычисление центров масс (тяжести) плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

(4.6.7)

где w – поверхностная плотность (dm = wdydxмасса элемента площади).

4.6.2 Приложение тройных интегралов.

1) Объемы тел.

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

(4.6.8)

где х1 и х2– постоянные величины, у11(х) и у22(х), z1=z1(х,у) и z2 = z2(х,у).

2) Координаты центра тяжести тела.

(4.6.9)

3) Моменты инерции тела относительно осей координат.

(4.6.10)

4) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

(4.6.11)

5) Момент инерции тела относительно начала координат.

(4.6.12)

В приведенных выше формулах V – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема

  • в декартовых координатах: dv = dxdydz;

  • в цилиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

  • в сферических координатах: dv = r2sinjdrdjdq.

4.6.3 Приложение криволинейных интегралов.

1) Длина дуги кривой.

Если f(x, y, z) = 1, то = (4.6.13)

где S – длина дуги кривой, - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.

2) Теорема о среднем.

Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1) такая, что

. (4.6.14)

Лекция 7

Модуль 5. Дифференциальные уравнения.

Тема 5.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1-го порядка.

5.1.1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными иоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

5.1.2. Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ)1-го порядка и уравнения Бернулли.

5.1.3.Уравнения в полных дифференциалах.