4.5.2.Тройной интеграл в цск и сск.

1. Понятие тройного интеграла в цилиндрической системе координат (ЦСК).

Определение 4.5.3.

Тройным интегралом в ЦСКназывается интеграл, выраженный через цилиндрические координаты.

2)Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответствующей операции для двойного интеграла.

Если x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w), (4.5.2)

то , (4.5.3)

где (4.5.4) - Якобиан.

3) Цилиндрическая система координат.

z

P

z

_z

r

х

Связь цилиндрической системы координат с декартовой системой осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах используется Якобиан:

Итого:

4)Сферическая система координат.

z

r P

j

х

Связь сферической системы с декартовой осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

4.5.3 Криволинейный интеграл.

1) Криволинейный интеграл 1-го рода.

Определение 4.5.4.

Криволинейным интегралом первого рода по длине дуги АВ называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю шага разбиения кривой:

(4.5.5)

2) Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Кривая АВ задана уравнением .Криволинейный интеграл по длине дуги АВ находится по формуле:

(4.5.6)

3) Криволинейный интеграл 2-го рода.

Определение 4.5.6.

Криволинейным интегралом второго рода (или интегралом по координатам) от функций по кривой АВ называется интеграл вида:

(4.5.7)

Замечание.

Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L обозначается (4.5.8) и не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой, которое задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным.

4) Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Контур интегрирования АВ (плоская кривая) задан уравнением y = f(x), .

(4.5.9)

Типовой пример.

Вычислить криволинейный интеграл . L– контур, ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.

Решение.

Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L₁ = x² и

5) Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода заданного параметрически.

Кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), t, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точкеА соответствует t = , а точке В соответствует t = . Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ находится по формуле:

(4.5.10)

Типовой пример.

Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии

Решение.

6) Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода заданного параметрически.

Контур интегрирования задан параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t),

(4.5.11)

(4.5.12)

(4.5.13)

(4.5.14)

Лекция 6