4.3.3 Экстремум функции 2-х переменных.

1) Экстремум функции 2-х переменных.

Определение 4.3.7.

Точка М₀(х₀, у₀) называется точкой максимума функции z = z(x, y), определенной в некоторой области D, если в некоторой окрестности точки М_0, принадлежащей области D, верно неравенство .

Определение 4.3.8.

Точка М₀(х₀, у₀) называется точкой минимума функции z = z(x, y), определенной в некоторой области D, если в некоторой окрестности точки М_0, принадлежащей области D, верно неравенство .

Теорема 4.3.2. (Необходимые условия экстремума).

Если функция z(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные первого порядка равны нулю (4.3.12.), либо хотя бы одна из них не существует. Эта точка (х₀, у₀) называется критической (или стационарной) точкой.

Теорема 4.3.3.(Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция z(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Пусть: , ∆=AC-B² (4.2.13.). Тогда

1. если ∆ (x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция z(x, y) имеет экстремум, еслиА= - максимум, (4.3.14.)

если A= - минимум, (4.3.15.)

2. если ∆(x₀, y₀)< 0(4.3.16.), то в точке (х₀, у₀) функция z(x, y) не имеет экстремума,

3) если ∆ (x₀, y₀) = 0 (4.3.17.), заключение о наличии экстремума сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.

Типовой пример.

Найти экстремум функции z= x²+xy+y²-3x-6y.

Решение:

Используя необходимые условия экстремума, находим стационарные точки , ,откуда x=0, y=3; т.е. стационарной точкой является точкаM(0;3).

Используя достаточные условия:

∆=AC-B²=2∙2-1=3>0; A>0, определяем, что в в точке M(0;3) заданная функция имеет минимум: z_min=-9.

2) Условный экстремум.

Определение 4.3.9.

Условным экстремумом функции двух переменных z = z(xy) называется экстремум, достигаемый при условии, что ее аргументы связаны уравнением или , называемым уравнением связи.

3) Нахождение условного экстремума методом подстановки.

z = z(xy)(4.3.18.)

или (4.3.19.)

(4.3.20.)

z = z(xy(х))=z(x) (4.3.21.)

Далее экстремум находится как экстремум функции одной переменной.

Возможно также использование формулы: =0 (4.3.22).

2) Нахождение условного экстремума методом Лагранжа.

Пусть z=z(x,y). Требуется найти экстремум при условии .

Решение.

Составляем функцию Лагранжа: (4.3.23) и находим для неё экстремум из условия: (4.3.24)

Полученный экстремум будет условным экстремумом функции z=z(x,y).

Типовой пример.

Найти экстремум функции z(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

Решение.

Ответ: функция имеет экстремум z_экстр = .

Лекция 4

Тема 4.4 Двойной интеграл

4.4.1 Двойной интеграл в декартовой системе координат (ДСК)

4.4.2 Двукратный интеграл

4.4.3 Двойной интеграл в полярной системе координат.

4.4.1 Двойной интеграл в декартовой системе координат (дск)

1) Понятиедвойного интеграла в ДСК.

Определение 4.4.1.

Двойным интегралом от непрерывной функции f(x,y) по ограниченной замкнутой области D, расположенной в плоскости ХОУ, называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы

(4.4.1.),

где .

2) Свойства двойного интеграла.

1 .

2 .

3 Если D = D₁ + D₂, то .