Пример.

Оба предела существуют, но не равны между собой и не равны значению функции в точке (0,0). Следовательно, в т. (0,0) функция терпит разрыв.

Лекция 2.

Тема 4.2.Частные производные и полный дифференциал.

4.2.1.Частные производные.

4.2.2. Дифференцирование сложных и неявных функций.

4.2.3.Полный дифференциал.

1. Частные производные.

1. Понятие частной производной.

Определение 4.2.1.

Частной производной функции Z = Z(x;y) по переменной х называется предел (4.2.1.)

2) Правило вычисления частных производных

Частная производная вычисляется как обычная производная от данной функции, взятой в предположении, что изменяется только переменная, по которой производиться дифференцирование.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

3) Вычисление частных производных в точке

Типовой пример.

. Определить в точке А (1,2).

Решение.

2. Дифференцирование сложных и неявных функций.

1. Основные понятия.

Определение 4.2.2.

Функция Z = Z(x;y) определяемая в области D называется сложной функцией зависящей от одного параметраt, если

Определение 4.2.3.

Частной производной функции Z= Z(x(t);y(t)) по промежуточному параметру х называют выражение

Определение 4.2.4.

Полной производной функции Z = Z(x(t);y(t)) по переменной t при x(t), y(t) в случае существования непрерывных частных производных и производных и называют выражением (4.2.2.)

Типовые примеры. Пример 1.

Решение.

Пример 2.

Решение.

2) Дифференцирование сложных функций.

Определение 4.2.5.

Функция называется сложной функцией зависящей от двух переменныхх и у, еслиu = u(x,y), v = v(x,y) .

Определение 4.2.6.

Частной производной от функции по переменной х называется выражение (4.2.3.)

Типовой пример.

Решение.

3) Дифференцирование неявных функций.

Определение 4.2.7.

Функция , из которой может быть определена функция , называется функцией заданной неявно для случая независимой переменной.

Теорема 4.2.1.

Пусть функция задается не явно уравнением (4.2.4.) где , непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку, удовлетворяющую уравнению (4.2.4.) и, кроме того , тогда имеет производную по х равную (4.2.5.)

Доказательство:

По условию

= /по теореме Лагранжа/ =

= , тогда , откуда

= - lim = -

Типовой пример.

Решение.

3. Полный дифференциал.

Определение 4.2.8.

Частным дифференциалом от функции Z = Z(x;y) по переменной х называется выражение (4.2.6.)

2. Определение 4.2.9.

Полным дифференциалом функции Z = Z(x;y) называется главная часть полного приращения функции.

Теорема 4.2.2.

Полный дифференциал от функции Z = Z(x;y) равен

dz = (4.2.7.)

Типовой пример:

Найти полный дифференциал функции

Решение.

Лекция 3.