6.2.3.Степенные ряды.

1) Интервал сходимости

Для всякого степенного ряда … (6.2.11)

(с_n и а –действительные числа) существует такой интервал (интервал сходимости) <R с центром в точке х=а, внутри которого ряд (6.2.11) сходится абсолютно, а вне его, то есть при >R– ряд расходится. При этом R называется радиусом сходимости. Радиус сходимости Rможет быть в частных случаях равен так же 0 и . В концевых точках интервала сходимости х=а Rвозможна как сходимость, так и расходимость степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, членами которого являются абсолютные величины членов данного ряда (6.2.11).

2) Радиус сходимости

Применив к ряду абсолютных величин …

признаки сходимости Коши и Даламбера, получим для радиуса сходимости степенного ряда (6.4.1) соответственно формулы

R= и R= .

Если степенной ряд представлен в виде (6.4.2), то число R является радиусом сходимости ряда (6.4.2), если при ряд сходится, а при - расходится. По признаку Даламбера в этом случае

3) Равномерная сходимость

Степенной ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно на любом отрезке , лежащем внутри интервала сходимости (-R, R).

4)Свойства степенных рядов.

Степные ряды обладают всеми свойствами функциональных рядов.

5)Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Типовой пример.

Решить с помощью степенного ряда дифференциальное уравнение

Решение.

Пусть у = С₀ + С₁х + С₂х² + … + С_пх^п + …, тогда

= С₁ + 2С₂х + … +п С_пх^п-1 + …, = 2 С₂ + … +п(п-1) С_пх^п-2 + …, и т.д.

В этом случае = (С₁ + 2С₂х + … +п С_пх^п-1 + …) + х(С₀ + С₁х + С₂х² + … + С_пх^п + …) = С₁ + х(2С₂ + С₀) + х²(3С₃ + С₁) + х³(4С₄+С₂)…. = 0.

Для того, чтобы последнее равенство имело место при всех значениях х необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты при х равнялись нулю:

С₁ = 0, 2С₂ + С₀ = 0, 3С₃ + С₁ = 0, 4С₄+С₂ = 0 и т.д., откуда С₁ = 0, , , и т.д. Тогда у = С₀ + С₁х + С₂х² + … + С_пх^п + … =

= С₀ - х² х⁴…=С₀(1 - х² х⁴…)=

Лекция12.

Тема 6.3. Ряды Тейлора и Маклорена.

6.3.1.Ряд Тейлора.

6.3.2. Ряд Маклорена.

6.3.3.Биномиальный и логарифмический ряды.

6.3.1. Ряд Тейлора.

1. Основные понятия.

Определение 6.3.1.

Разложением функции f(x) в ряд Тейлора в точкеа называется выражение вида: (6.3.1)

2) Интегрирование с помощью рядов Тейлора.

Типовой пример.

Вычислить с точностью до 0,001.

Решение.

3) Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Тейлора.

С помощью рядов Тейлора решаются задачи Коши, то есть дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями

Типовой пример.

Решение.

6.3.2. Ряд Маклорена.

1)Основные понятия.

Определение 6.3.2.

Разложением функции f(x) в ряд Маклорена в точке 0 называется выражение вида: (6.3.2)

2) Применение ряда Маклорена.

Пример 1.

1. Пусть Разложить в ряд Макларена и вычислить e.

Решение.

(6.3.3.)

Пример 2.

Разложить в ряд Маклоренаf(x) = sinx.

Решение.

(6.3.4.)

Sin 57,3⁰ = sin 1 =

Пример 3.

Пример 4.

, ,

Решение.