6.1.3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Определение 6.1.2.

Числовой ряд, у которого знаки чередуются а₁ - а₂+……+(-1)^п+1 а_п +… (6.2.1) называется числовым знакочередующимся рядом

Теорема 6.1.10. (Признак Лейбница).

Если для числового знакочередующегося ряда (6.2.1) выполняются условия

а₁> а₂> ………………> а_п > … и , то этот ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена.

Определение 6.1.3.

Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные члены.

Определение 6.1.4.

Если знакопеременный ряд сходится, а знакоположительныйряд, составленный изабсолютных величин знакопеременного ряда расходится, то такую сходимость называют условной сходимостью.

Определение 6.1.5.

Если сходится знакоположительный ряд,составленный изабсолютных величин знакопеременного ряда, то говорят, что он сходится абсолютно и такая сходимость называется абсолютной сходимостью.

Лекция 11.

Тема 6.2. Функциональные ряды.

6.2.1.Основные понятия.

6.2.2. Действия с функциональными рядами.

6.2.3.Стеренные ряды.

6.2.1.Основные понятия.

Определение 6.2.1.

Выражение вида: …….. (6.2.1) называется функциональным рядом.

Определение 6.2.2.

Множество значений аргумента x, для которых функциональный ряд … (6.2.1)сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Определение 6.2.3.

Функция S(x)= (6.2.2),где (6.2.3), а х принадлежит области сходимости, называется суммой ряда, и (6.2.4)-остатком ряда.

Для исследования сходимости функциональных рядов используются те же признаки, что и для числовых рядов.

Типовой пример.

Определить область сходимости ряда

…

Решение.

Обозначив через общий член ряда, будем иметь:

.

На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и при том абсолютно), если <1, т.е. при -3<x< 1; ряд расходится, если >1, т.е. если <x< -3 или 1<x< . Прих=1 получаем гармонический ряд 1+ …, который расходится, а при х=-3 – ряд -1+ …, который (в соответствии с признаком Лейбница) сходится (неабсолютно, т.е. условно). Итак, ряд сходится при -3 x< 1.

Определение 6.2.4.

Функциональный ряд (6.2.1) сходится на некотором промежутке равномерно, если, каково бы ни было >0, можно найти такое N , не зависящее от х, что при n>Nдля всех х из данного промежутка будет выполняться неравенство , где R_n(x) – остаток данного ряда.

6.2.2. Действия с функциональными рядами.

Теорема 6.2.1.

Функциональный ряд (6.2.1.), состоящий из непрерывных функций и мажорируемый на можно почленно интегрировать на отрезке , причём сумма проинтегрированного ряда будет равна интегралу от суммы исходного ряда, т.е. если (6.2.5.), то и интеграл

Пример.

Применяя почленное интегрирование найти сумму ряда

Решение.

Теорема 6.2.2.

Если ряд (6.2.1.),составленый из функций, имеющих непрерывные производные на , сходится на этом отрезке к сумме (6.2.6.) и ряд (6.2.7)мажорируемый на , то сумма ряда (6.3.7.) равна производной от (6.2.6.) суммы ряда (6.2.1.), т.е. (6.2.8.)

(6.2.9.)

(6.2.10.)

Пример.

Найти сумму ряда

Решение.

1. Определим область сходимости ряда

-

2)Найдм сумму ряда