
- •Модуль 4. Функции нескольких переменных
- •Тема 4.1. Функции нескольких переменных.
- •4.1.1. Область определенияфункции нескольких переменных.
- •П римеры.
- •4.1.2. Предел функции нескольких переменных.
- •4.1.3. Непрерывность функции 2-х переменных.
- •Пример.
- •Тема 4.2.Частные производные и полный дифференциал.
- •Частные производные.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Типовой пример.
- •Дифференцирование сложных и неявных функций.
- •Типовые примеры. Пример 1.
- •Полный дифференциал.
- •Тема 4.3 Производная по направлению.
- •4.3.1 Производная по направлению.
- •Замечание
- •2) Линии и поверхности уровня.
- •4.3.2 Градиент.
- •4.3.3 Экстремум функции 2-х переменных.
- •Тема 4.4 Двойной интеграл
- •4.4.1 Двойной интеграл в декартовой системе координат (дск)
- •4.4.2. Двукратный интеграл.
- •4.4.3 Двойной интеграл в полярной системе координат (пск)
- •Тема 4.5 Тройной интеграл
- •4.5.1 Тройной интеграл в дск.
- •4.5.2.Тройной интеграл в цск и сск.
- •4.5.3 Криволинейный интеграл.
- •Тема 4.6Приложение кратных интегралов.
- •4.6.1 Приложение двойных интегралов.
- •4.6.2 Приложение тройных интегралов.
- •4.6.3 Приложение криволинейных интегралов.
- •Модуль 5. Дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5.1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и однородные дифференциальные уравнения
- •5.1.2. Линейные дифференциальные уравнения (лду)
- •1) Понятие лду 1-го порядка. Определение 5.1.13.
- •2) Решение лду 1-го порядка.
- •5.1.3. Уравнения в полных дифференциалах.
- •Определение 5.1.15.
- •2) Решение уравнения в полных дифференциалах.
- •Тема 5.2. Линейные дифференциальные уравнения
- •5.2.1. Однородные линейные дифференциальные уравнения (лду)
- •5.2.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение.
- •5.2.3. Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных и методом решения в зависимости от вида правой части.
- •Тема 5.3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений1-го порядка
- •5.3.1. Основные понятия.
- •5.3.2. Метод характеристического уравнения.
- •5.6.3. Метод исключения.
- •Модуль 6. Ряды.
- •Тема 6.1. Числовые ряды.
- •6.1.1Необходимый признак сходимости ряда.
- •Найти сумму n первых членов ряда ( Sn ), и сумму ряда (s).
- •6.1.2. Достаточные признаки сходимости.
- •6.1.3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
- •Тема 6.2. Функциональные ряды.
- •6.2.1.Основные понятия.
- •6.2.2. Действия с функциональными рядами.
- •6.2.3.Степенные ряды.
- •Тема 6.3. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.3.1. Ряд Тейлора.
- •6.3.2. Ряд Маклорена.
- •6.3.3. Биномиальный и логарифмический ряды.
5.2.3. Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных и методом решения в зависимости от вида правой части.
1) Метод вариации произвольных постоянных.
Типовой пример (наметод вариации произвольных постоянных)
Р
ешить
уравнение
Решение.
Соответствующее
однородное уравнение будет
.
Его характеристическое уравнение
имеет мнимые корни
и общее решение однородного уравнения
имеет вид:
.
Общее решение исходного уравнения ищем в виде
(
)
где С1(х) и С2(х)_ - неизвестные функции от х. Для их нахождения составим систему:
.
Разрешаем эту систему относительно С1(х) и С2(х):
С1(х)=-tgx С2(х)=1
Откуда интегрированием находим:
,
Подставляя выражения С1(х) и С2(х) в ( ), получим общий интеграл данного уравнения
.
Здесь
есть
частное решение исходного неоднородного
уравнения.
2) Метод решения в зависимости от вида правой части.
Типовые примеры.
Пример 1 (на метод неопределенных коэффициентов).
Решение.
,
Так
как
совпадает с e0
в правой части уравнения, то
Подставляя их в исходное уравнение получим:
Пример 2(на метод неопределенных коэффициентов).
Решение.
Характеристическое
уравнение
имеет корни
;
общее решение
однородного уравнения будет
.
Частное решение yч.н.
ищется в виде
Подставляя данное выражение в уравнение и сокращая обе части на ex, получим
Откуда
имеем
.
Решение
данной системы: a=4,
b=3
и, следовательно,
Общее
решение данного уравнения
Лекция 9.
Тема 5.3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений1-го порядка
5.3.1.Основные понятия.
5.3.2. Метод характеристического уравнения.
5.3.3. Метод исключения.
5.3.1. Основные понятия.
1) Общие понятия.
Определение 5.3.1.
Система вида
(5.3.1.),
где х
аргумент, а
искомые функции называемые нормальной
системой ДУ 1-го порядка.
Определение 5.3.2.
Система вида
(5.3.2.)
где
постоянные величины называются системы
линейных однородных ДУ 1-го порядка с
постоянными коэффициентами.
Определение 5.3.3.
Система
обыкновенных дифференциальных уравнений
1-го порядка вида
(5.3.3)
называется нормальной системой линейных
дифференциальных уравнений 1-го порядка.
5.3.2. Метод характеристического уравнения.
(5.3.3.)
Решение
(5.3.4.)
(5.3.5.)
(5.3.5.) и (5.3.4.) (5.3.3.)
(5.3.6.)
1)
2)
(5.3.7.)
(5.3.8.)
D
=
(5.3.9.)
1))D>0;
- действительные числа. (5.3.10.)
(5.3.11.)
2))D
= 0.
(5.3.12.)
(5.3.13.)
3)) D<0; - они комплексно сопряжены
;
(5.3.14.)
(5.3.15.)
(5.3.16.)
Типовой пример.
5.6.3. Метод исключения.
Типовой пример.
Решение.
Ответ:
Лекция 10.
Модуль 6. Ряды.
Тема 6.1. Числовые ряды.
6.1.1.Необходимый признак сходимости ряда.
6.1.2. Достаточные признакисходимости.
6.1.3.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
6.1.1Необходимый признак сходимости ряда.
1)Основные понятия.
Определение 6.1.1.
Выражение вида: а1 + а2 + ……………… + ап + …… (6.1.1),
в котором а1, а2, ………………, ап , …… (6.1.2) представляют собой бесконечную числовую последовательность (то есть ап= f(n)), называется числовым рядом.
Если члены ряда положительные числа, то ряд называется знакоположительным.
Выражение
вида: а1
+ а2
+ ……………… + ап
=Snназывается
п-ой
частичной суммой ряда, а выражение
,
если предел существует, - суммой ряда
Типовой пример.