5.2.3. Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных и методом решения в зависимости от вида правой части.

1) Метод вариации произвольных постоянных.

Типовой пример (наметод вариации произвольных постоянных)

Р ешить уравнение

Решение.

Соответствующее однородное уравнение будет . Его характеристическое уравнение имеет мнимые корни и общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Общее решение исходного уравнения ищем в виде

( )

где С₁(х) и С₂(х)_ - неизвестные функции от х. Для их нахождения составим систему:

.

Разрешаем эту систему относительно С₁(х) и С₂(х):

С₁(х)=-tgx С₂(х)=1

Откуда интегрированием находим:

,

Подставляя выражения С₁(х) и С₂(х) в ( ), получим общий интеграл данного уравнения

.

Здесь есть частное решение исходного неоднородного уравнения.

2) Метод решения в зависимости от вида правой части.

Типовые примеры.

Пример 1 (на метод неопределенных коэффициентов).

Решение.

,

Так как совпадает с e⁰ в правой части уравнения, то

Подставляя их в исходное уравнение получим:

Пример 2(на метод неопределенных коэффициентов).

Решение.

Характеристическое уравнение имеет корни ; общее решение однородного уравнения будет . Частное решение y_ч.н. ищется в виде

Подставляя данное выражение в уравнение и сокращая обе части на e^x, получим

Откуда имеем .

Решение данной системы: a=4, b=3 и, следовательно,

Общее решение данного уравнения

Лекция 9.

Тема 5.3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений1-го порядка

5.3.1.Основные понятия.

5.3.2. Метод характеристического уравнения.

5.3.3. Метод исключения.

5.3.1. Основные понятия.

1) Общие понятия.

Определение 5.3.1.

Система вида

(5.3.1.),

где х аргумент, а искомые функции называемые нормальной системой ДУ 1-го порядка.

Определение 5.3.2.

Система вида

(5.3.2.)

где постоянные величины называются системы линейных однородных ДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 5.3.3.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка вида (5.3.3) называется нормальной системой линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

5.3.2. Метод характеристического уравнения.

(5.3.3.)

Решение

(5.3.4.)

(5.3.5.)

(5.3.5.) и (5.3.4.) (5.3.3.)

(5.3.6.)

1)

2)

(5.3.7.)

(5.3.8.)

D = (5.3.9.)

1))D>0; - действительные числа. (5.3.10.)

(5.3.11.)

2))D = 0. (5.3.12.)

(5.3.13.)

3)) D<0; - они комплексно сопряжены

; (5.3.14.)

(5.3.15.)

(5.3.16.)

Типовой пример.

5.6.3. Метод исключения.

Типовой пример.

Решение.

Ответ:

Лекция 10.

Модуль 6. Ряды.

Тема 6.1. Числовые ряды.

6.1.1.Необходимый признак сходимости ряда.

6.1.2. Достаточные признакисходимости.

6.1.3.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

6.1.1Необходимый признак сходимости ряда.

1)Основные понятия.

Определение 6.1.1.

Выражение вида: а₁ + а₂ + ……………… + а_п + …… (6.1.1),

в котором а₁, а₂, ………………, а_п , …… (6.1.2) представляют собой бесконечную числовую последовательность (то есть а_п= f(n)), называется числовым рядом.

Если члены ряда положительные числа, то ряд называется знакоположительным.

Выражение вида: а₁ + а₂ + ……………… + а_п =S_nназывается п-ой частичной суммой ряда, а выражение , если предел существует, - суммой ряда

Типовой пример.