5.2.1. Однородные линейные дифференциальные уравнения (лду)

2-го порядка.

1) Общие понятия.

Определение 5.2.1.

ДУ вида (5.2.1.), где - функции аргумента х, называетсяЛДУ 2-го порядка.

Определение 5.2.2.

ДУ вида (5.2.2.), где - постоянные величины, называетсяЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 5.2.3.

ДУ вида (5.2.3.), называетсяоднородным ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2) Решение однородного ЛДУ2-го порядка, когдакорни характеристического уравнения различные.

Теорема 5.2.1.

Если у₁ и у₂ два частных решения однородного ЛДУ (5.2.3.),

то у=у₁+у₂ (5.2.4.) также является его решением.

3) Определитель Вронского.

Определение 5.2.4.

Если и , то определитель (5.2.4.) называется определителем Вронского или Вронскианом данных функций.

4) Линейно зависимые и линейно независимые решения однородного ЛДУ 2-го порядка.

Определение 5.2.5.

Решения и , ЛДУ (5.2.3.) называются линейно независимыми, если (5.2.5^*.) и называются линейно зависимыми, если (5.2.5.)

Теорема 5.2.2.

Если определитель Вронского, составленный из частных решений у₁ и у₂ однородного ЛДУ (5.2.3.), не равен нулю при каком-нибудь значении , то он не равен нулю ни при каком значении , причём в этом случае решения у₁ и у₂ являются линейно независимыми, если же определитель Вронского, составленный из частных решений у₁ и у₂ однородного ЛДУ (5.2.3.), равен нулю, то у₁иу₂ являются линейно зависимыми.

Теорема 5.2.3.

Если частные решения у₁ и у₂ однородного ЛДУ (5.4.3.), линейно независимы, то его общее решение равно , (5.4.6.) где с₁ и с₂ – произвольные постоянные.

5) Характеристическое уравнение.

Определение 5.2.6.

Уравнение вида (5.2.7.) называется характеристическим уравнением однородного ЛДУ (5.2.3.).

y=e^kx, y^’=ke^kx, y^’’=k²e^kx, e^kx(k²+pk+q)=0, k²+pk+q=0

6) Корнихарактеристического уравнения

(5.2.8.)

7) Корнихарактеристического уравнения действительные и различные

В этом случае общее решение ЛДУ (5.2.3.) имеет вид

(5.2.9.)

8) Корни характеристического уравнения действительные и одинаковые.

В этом случае k₁=k₂=k иобщее решение ЛДУ (5.2.3.) имеет вид

(5.2.10.)

9)Корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые.

В этом случае иобщее решение ЛДУ (5.2.3.) имеет вид (5.2.10.)

5.2.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение.

1) Общие понятия.

Теорема 5.2.4.

Общее решение ДУ вида (5.2.11) равно: (5.2.12), где - общее решение однородного уравнения, а - частное решение неоднородного уравнения.

Доказательство.

1. Доказательство того, что решение (5.2.12.) удовлетворяет уравнению (5.2.11.)

, (5.2.13.), (5.2.14.)

(5.2.12.), (5.2.13.) и (5.2.14.) (5.2.11.)

2. Доказательство того, что решение (5.2.12.) является общим решением (5.2.11.), удовлетворяющим любым начальным условиям.

Пусть

(5.2.14.)

(5.2.15.)

(5.2.16)

(5.2.17.)

(5.2.18.)

т.к. в (5.2.15.) и линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю (5.2.18.) , а это значит (5.2.11.) является общим решением. Ч.Т.Д.