Тема 3.6. Рекуррентное оценивание состояния линейной динамической системы (фильтр Калмана)

Рассмотренный в предыдущей теме алгоритм оценивания состояния линейной динамической системы по полной выборке методом взвешенных наименьших квадратов обладает рядом недостатков:

1. Алгоритм громоздок, так как при проведении расчетов с помощью соотношений (3.34) – (3.35) или (3.36) требуется выполнять матричные операции с векторами и матрицами большой размерности.

2. Алгоритм позволяет оценивать начальное состояние системы без учета детерминированных и случайных возмущений, действующих на систему в ходе ее движения.

3. Алгоритм позволяет получить оценку состояния системы только после получения результатов всех измерений, а не по мере их получения (хотя этот недостаток может быть устранен путем применения алгоритма к выборке нарастающего объема).

Поэтому на практике в настоящее время широкое распространение получил рекуррентный вариант этого алгоритма, впервые предложенный американским ученым Рудольфом Е. Калманом в 1960 году и получивший название фильтр Калмана.

Целью данной темы является вывод соотношений фильтра Калмана. В настоящее время существует несколько подходов к выводу этих соотношений. Здесь будут использован подход, основанный на использовании соотношений (3.34) – (3.35), образующих алгоритм оценивания по полной выборке измерений.

Постановка задачи. Рассматривается линейная динамическая система, изменение состояния которой описывается рекуррентным соотношением:

. (3.37)

В этом соотношении:

- вектор состояния системы размерности в дискретный момент времени ;

- переходная матрица системы размерности , связывающая состояния системы в моменты и ;

- вектор регулярных (неслучайных) воздействий на систему размерности в момент ;

- матрица размерности , описывающая влияние компонент вектора на переменные состояния, входящие в вектор , в момент ;

- дискретный векторный белый шум, состоящий из компонент – гауссовская (нормально распределенная) абсолютно случайная последовательность, состояния которой в разные моменты времени статистически независимы друг от друга. В каждый момент времени вектор характеризуется нулевым вектором математических ожиданий и заданной ковариационной матрицей , т.е. , где символ обозначает нормально распределенную векторную случайную величину.

Система, описываемая соотношением (3.37), начинает движение из случайного состояния . До начала проведения и обработки измерений известна априорная оценка начального состояния и ковариационная матрица этой оценки , т.е. .

В моменты в системе проводятся измерения

(3.38)

где:

- вектор измерений размерности ;

- матрица измерений размерности ;

- дискретный векторный белый шум, состоящий из компонент – гауссовская (нормально распределенная) абсолютно случайная последовательность, состояния которой в разные моменты времени статистически независимы друг от друга. В каждый момент времени характеризуется вектором математических ожиданий и заданной ковариационной матрицей , т.е. .

Требуется составить рекуррентный алгоритм обработки измерений , по мере их поступления, обеспечивающий получение оценок состояния системы , оптимальных по критерию наименьших квадратов. При этом характеристики системы и измерений, характеризуемые матрицами , , , , а также начальная априорная оценка и ее ковариационная матрица считаются известными (заданными).

Соотношения пересчета оценок. Для решения задачи воспользуемся соотношениями (3.34) – (3.35), полученными выше для оценки состояния по полной выборке измерений. Вначале перепишем эти соотношения с учетом введенных новых (более компактных) обозначений:

, (3.39)

. (3.40)

Теперь предположим, что обрабатывается не все измерения, полученные в моменты времени и вошедшие в совокупный вектор , а измерения, полученные в один момент времени , т.е. . При этом размерность вектора равна , т.е. числу параметров, измеряемых одновременно. Кроме того, будем предполагать, что априорная оценка задана не в момент , а в момент , т.е. непосредственно перед измерением, которое проводится в момент .

В этом случае совокупная матрица измерений трансформируется в матрицу , матрица - в , а (3.39) и (3.40) становятся следующими:

, (3.41)

. (3.42)

В этих соотношениях:

- это априорная оценка вектора состояния по отношению к измерению ;

- это апостериорная оценка вектора состояния, полученная с учетом измерения ;

- это ковариационная матрица оценки вектора состояния, априорной по отношению к измерению ;

- ковариационная матрица апостериорной оценки, полученной с учетом измерения .

По аналогии с (3.36) соотношение (3.42) также можно переписать в другой форме:

. (3.42')

Вводя обозначение:

, называемый коэффициентом (матрицей) Калмана, где , (3.41) и (3.42) можно переписать так:

(3.41’')

. (3.42’')

Таким образом, с помощью (3.41) – (3.42) на каждом шаге измерений происходит пересчет априорных характеристик и в апостериорные характеристики и . Поэтому соотношения (3.41) – (3.42) называют соотношениями пересчета фильтра Калмана.

Обратим внимание на важные особенности формул, входящих в соотношения пересчета:

• для пересчета оценки состояния с помощью (3.41) вначале с помощью формулы на основе априорных данных (по отношению к измерению ) определяется, каким должно быть измерение в этот момент;

• затем вычисляется разность между фактическим измерением и его предполагаемым значением ;

• далее эта разность с помощью матрицы Калмана пересчитывается в поправку к оценке вектора состояния . Матрица Калмана учитывает интегрально степень доверия к проведенному измерению (его вес), в том числе ковариационную матрицу ошибок текущего измерения;

• наконец, полученная поправка добавляется к априорной оценке , образуя новую (уже апостериорную) оценку .

Соотношения прогноза оценок. Чтобы применить соотношения пересчета (3.41) – (3.42), необходимо знать априорные оценки и . Для расчета этих оценок в фильтре Калмана используются соотношения прогноза. Эти соотношения устанавливают связь между апостериорными оценками и , полученными после обработки текущего измерения с помощью соотношений пересчета (3.41) – (3.42), с априорными оценками и перед следующим измерением.

В динамической системе, движение которой описывается с помощью модели с дискретным временем, соотношения прогноза нетрудно получить с помощью уравнения движения системы (3.37).

Действительно, применяя операцию усреднения к левой и правой частям соотношения (3.37), записанного для моментов времени и

,

получаем:

(3.43)

так как , , а (напомним: термины математическое ожидание и оценка в данном случае являются синонимами).

Чтобы спрогнозировать ковариационную матрицу, вычтем (3.43) из (3.37). Получим соотношение в отклонениях:

,

где: ; .

Отсюда находим:

. (3.44)

Таким образом, оценку состояния системы и ковариационную матрицу этой оценки между измерениями прогнозируем с помощью соотношений прогноза, образующих вторую часть фильтра Калмана:

, (3.43’)

. (3.44’)

Соотношения прогноза (3.43) – (3.44) и пересчета (3.41) – (3.42) используются поочередно. Если первое измерение поступает в момент , а начальная априорная оценка состояния и ее ковариационная матрица заданы для момента , то вначале используются именно соотношения прогноза, чтобы получить априорные оценки и перед этим первым измерением.

Чтобы использовать (3.43) – (3.44) применительно к начальным и в унифицированном виде, целесообразно переименовать эти характеристики в и , т.е. рассматривать их как оценки, апостериорные по отношению к предшествующему этапу функционирования системы, на котором эти характеристики были как-то получены.

Конкретный пример оценивания состояния динамической системы с помощью фильтра Калмана рассматривается на практическом занятии по теме.