Тема 3.2. Общая постановка задачи оценивания состояния динамической системы

Как это было сформулировано выше, основной задачей, решаемой при апостериорном статистическом анализе динамической системы, является получение оценок состояния системы по результатам измерений. Задача оценивания может решаться как на борту ЛА, так и вне ЛА на неподвижной или движущейся платформе. При этом целью решения задачи оценивания может быть получение информации о собственном состоянии (положении, скорости, угловых параметрах) ЛА – задача навигации, или о состоянии другого ЛА – задача слежения.

Пример. Рассмотрим некоторый динамический объект (например, автомобиль, корабль), который, начиная с момента , в течение некоторого периода времени движется в горизонтальной плоскости прямолинейно и с постоянной скоростью (рис. 3.2). Состояние (положение и скорость) объекта в начальный момент характеризуется четырьмя переменными: .

За объектом ведется наблюдение (слежение) с неподвижного наземного пункта. Для этого проводятся измерения с помощью некоторого измерительного устройства, например, радиолокатора, расположенного в некоторой точке на плоскости , например, в точке с координатами .

Измерения проводятся в дискретные моменты времени с шагом , начиная с момента . Всего в течение периода может быть проведено измерений. Величины, измеряемые в каждый момент времени образуют вектор измерений .

Состав вектора измерений зависит от конкретных параметров, которые могут измеряться измерительным устройством.

В примере можно рассмотреть два варианта состава вектора измерений.

Вариант 1. Результатом работы измерительного устройства в каждый дискретный момент времени являются координаты объекта в системе координат .

Вариант 2. Измерительным устройством измеряются три величины:

- дальность до объекта;

- азимут объекта – угол между осью и линией визирования объекта;

- скорость изменения дальности от измерительного устройства до объекта.

Рис. 3.2. Схема измерений при слежении за движущимся объектом в примере

Скорость - это проекция скорости объекта на линию визирования объекта. Она может быть измерена, например, с помощью допплеровского измерителя скорости движущегося объекта.

Таким образом, в варианте измерений 1 вектор измерений состоит из двух компонент: , а в варианте измерений 2 – из трех: . В первом варианте компоненты вектора измерений линейно зависят от вектора состояния объекта (в данном случае они совпадают с двумя компонентами вектора состояния). Во втором варианте зависимость является нелинейной.

Обычно измерения проводятся со случайными ошибками измерений. В простейшем случае можно предполагать, что эти ошибки являются гауссовскими, некоррелированными друг с другом в каждый момент времени и от одного момента наблюдения к другому. Иными словами, ошибки измерений – это дискретный векторный белый шум , с диагональной ковариационной матрицей . Диагональными элементами ковариационной матрицы являются дисперсии соответствующих компонент вектора измерений.

В примере в варианте измерений 1 - это и , в варианте 2 - , , . Указанные дисперсии могут быть постоянными во времени, или меняться по известному закону от одного момента измерений к другому.

Требуется, произведя измерения , обработать их статистически так, чтобы получить наилучшую (наиболее точную) оценку начального состояния объекта. Если во время движения объекта внешние возмущения на него не действуют, т.е. происходит свободное движение объекта, зависящее от начальных условий его движения, то, зная оценку , можно определить оценки переменных состояния объекта в последующие моменты времени .

Возможны различные варианты решения задачи апостериорного анализа (оценивания состояния):

1. Оценивание состояния объекта по выборке нарастающего объема – состояние объекта оценивается заново по мере поступления новых измерений. При этом обрабатываются совместно все измерения, полученные до текущего момента времени (включительно).

2. Оценивание состояния объекта по полной выборке – все измерения обрабатываются один раз после получения всех измерений. Очевидно, что вариант решения по полной выборке является последним решением при оценивании состояния по выборке нарастающего объема.

3. Рекуррентное оценивание состояния – оценка состояния пересчитывается (уточняется) с учетом текущего измерения и оценки состояния, полученной на основе наблюдений, предшествующих этому наблюдению, т.е. оценки, априорной по отношению к этому текущему измерению.

Способы решения этих задач рассматриваются в следующих подразделах.