1.6. Электрические цепи несинусоидальных токов

В электротехнике считается, что генерацию и распределение электри­ческой энергии лучше всего осуществлять на синусоидальных токах и напряжениях, передачу — на синусоидальных и постоянных токах и напряжениях, а для управления работой электроустановок применять раз­рывные функции токов и напряжений (типа «меандр», рис. 1.29, а). При этом в элементах преобразования синусоидальных токов и напряжений в постоянные и разрывные токи и напряжения, появляются токи и напряже­ния, описываемые кусочно-синусоидальными функциями (рис. 1.29, б).

На практике из-за изменения во времени параметров потребителей электроэнергии, воздействий на электрические цепи со стороны внешней среды, но главным образом, из-за использования в цепях нелинейных эле­ментов реальные токи и напряжения цепей имеют гораздо более сложный вид. В качестве примера на рис. 1.29, в представлен характерный для практики вид искаженного синусоидального напряжения. Для анализа подобных несинусоидальных режимов цепей и оценки их качества необ­ходим специальный математический аппарат, инвариантный к многообра­зию возможных форм токов и напряжений и удобный для проведения их расчетов. В электротехнике в качестве такого аппарата выбран Фурье-ана­лиз периодических функций. При этом периодические функции ЭДС, токов, напряжений представляют в виде ряда:

в котором первый член А₀ называют постоянной составляющей или нулевой гармоникой функции , второй член — — ее основной или первой гармоникой, а остальные члены ряда , к > 2— высшими гармониками. Величину называют основной угловой частотой (Т — период функции ) Ряд может быть представлен и в иной форме:

где Коэффициенты А₀, B_km, C_km, A_km, для функции , заданной аналитически, могут быть определены по соответствующим справочникам рядов Фурье или в случае, когда она задана численно, рассчитаны по формулам:

При наличии определенных видов симметрии функции некото­рые из коэффициентов ее ряда Фурье обращаются в ноль, а сам ряд имеет более простой вид. Так, если рассматриваемая функция удовлетворяет условию = , т.е. ее график, сдвинутый на полпериода (см. пунктир на рис. 1.29, в) будет симметричен относительно оси абсцисс исходному графику, то ее ряд Фурье не будет содержать постоянной составляющей и четных гармоник

Если функция т.е. ее график симмет­ричен относительно оси ординат, то ее ряд не будет содержать синусов

Например, ряд функции , представленной на рис. 1.29, б имеет вид

Если же функция — нечетная, т.е. ее график симметричен относительно начала координат, то ее ряд не будет содер­жать косинусов и постоянной составляющей

Заметим, что функция может одновременно удовлетворять сразу двум из перечисленных выше условий. Так, ряд функции , изобра­женной на рис. 1.29, а, удовлетворяющей условиям и , не содержит косинусов, постоянной составляющей и четных гармоник:

Заметим, что изображенная на рис. 1.29, а функция (меандр) раз­рывная, в то время как все члены ее ряда Фурье функции непрерывные, Для подобных функций имеет место явление Гиббса, когда в окрестностях точек разрыва ряд Фурье (правая часть последнего выражения) будет

численно несколько отличаться от исходной функции (левой части пос­леднего выражения).

На практике для расчета несинусоидальных режимов используют не бесконечные, а усеченные ряды Фурье, ограничиваясь первыми их (N +1)-членами. При этом некоторую ЭДС (рис. 1.30, а) можно представить в виде последовательно соединенных (N + 1) ЭДС (рис. 1.30, б):

— постоянная, а е_j= 1,2, ...,N, — гармонические составляющие е =

При этом Фурье-анализ несинусоидальных режимов цепей может быть сведен к выполнению трех этапов:

1. Функции всех ЭДС (источников тока) цепи заменяют усеченными рядами Фурье, а сами источники ЭДС (тока) — последовательно (парал­лельно) соединенными источниками постоянной (постоянного) и ряда гармонических ЭДС (источников тока).

2. Цепь рассчитывается отдельно по постоянной и каждой гармониче­ской составляющей тока.

3. Результаты расчета суммируются согласно принципу наложения.

При выполнении второго этапа анализа можно гармонические состав­ляющие токов и напряжений цепи рассчитывать с использованием комп­лексного (символического) метода. В этом случае следует учитывать раз­личие значений индуктивных и емкостных сопротивлений на разных гармониках (см. табл. 1.1).

Пример 1.7. Рассчитаем ток , в схеме рис. 1.10 с ЭДС , для чего заменим схему рис. 1.10

		Таблица 1.1
Элемент	Комплексное сопротивление на основной гармонике	Комплексное сопротивление на высших гармониках
Катушка
Конденсатор

тремя схемами (рис. 1.31, а —в), соответствующими нулевой, первой и третьей гармоникам ЭДС.

Расчет схемы рис. 1.31, а дает I₀= E₀/R, схемы 1.31, б -

схемы 1.31, в —

где и — входные комплексные сопротивления цепи на первой и третьей гармонике. Окончательно, согласно принципу наложения, имеем

где ,

В заключение отметим, что несинусоидальные периодические токи, напряжения, ЭДС также как и синусоидальные могут быть интегрально охарактеризованы действующими значениями. Под действующими значе­ниями несинусоидальных токов, напряжений, ЭДС понимаются их сред­неквадратичные значения за период

Можно показать, что действующее значение периодического несинусо­идального тока, напряжения, ЭДС равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гар­моник