3. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Нормальное распределение – наиболее часто встречающийся вид распределения. С ним приходится сталкиваться при анализе производственных погрешностей, контроле технологических процессов и режимов, а также при анализе и прогнозировании различных явлений в биологии, медицине и других областях знаний.

Нормальное распределение впервые открыто Муавром в 1733 году. Нормальное распределение часто называют законом Гаусса-Лапласа, по имени математиков, открывших этот закон независимо от работ Муавра.

Нормальному закону распределения подчиняются только непрерывные случайные величины.

Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается формулой

,

где - математическое ожидание, т.е , σ - среднее квадратическое отклонение случайной величины.

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой и представляет собой колоколообразную фигуру, симметричную относительно прямой и асимптотически приближающуюся к оси абсцисс при .

Рис.7

Свойства нормального распределения

1. Функция плотности нормального распределения определена на всей оси , т.е. каждому значению соответствует вполне определенное значение функции.

2. При всех значениях (как положительных, так и отрицательных) функция плотности принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью .

3. Предел функции плотности при неограниченном

изменении равен нулю:

4. Функция плотности нормального распределения в точке имеет максимум, равный . Поэтому, с возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании σ нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси .

5. График функции плотности симметричен относительно прямой . Изменение величины параметра не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси : вправо, если возрастает, и влево, если убывает.

6. Кривая распределения имеет две точки перегиба с координатами .

Можно показать, что практически рассеяние нормально распределенной случайной величины укладывается на участке . Вероятность того, что случайная величина попадет за этот участок очень мала, а именно равна 0,0027, т.е. это событие может произойти лишь в 0,27% случаев. Такие события можно считать практически невозможными. На приведенном рассуждении основано правило трех сигм которое формулируется следующим образом: если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от её математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. Используя это правило, ориентировочно оценивают среднее квадратическое отклонение. Для этого из ряда наблюдений выбирают максимальное и минимальное значения и их разность делят на шесть. Полученное число является грубой оценкой среднего квадратического отклонения при условии, что распределение признака нормально.

Функция плотности нормального распределения с параметрами =0, σ=1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины или нормированной плотностью, а ее график – стандартной кривой Гаусса или нормированной нормальной кривой.

Справедлива теорема: алгебраическая сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием, равным алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых, и дисперсией, равной сумме дисперсий слагаемых.