4. Гипергеометрическое распределение вероятностей дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина распределена по гипергеометрическому закону, если вероятность того, что примет определенное значение , выражается формулой

Здесь – число различных элементов множества, из которых элементов обладают определенным свойством; - число элементов выборки, а – число элементов, обладающих этим же свойством и оказавшихся в выборке, причем может принимать следующие значения , если .

Гипергеометрическому закону распределения подчиняется случайная величина, означающая число извлеченных бракованных деталей при извлечении наудачу 3 деталей из коробки содержащей 15 деталей, среди которых 4 бракованных.

5. Геометрическое распределение вероятностей дискретной случайной величины

Геометрическое распределение вероятностей дискретной случайной величины , значениями которой являются возможные значения числа проведенных испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли (причем опыт прекращается после первого же испытания, в котором рассматриваемое событие появилось), задается формулой

где .

Если случайная величина имеет геометрическое распределение, то

§ 4. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин

1. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е. если

График плотности вероятности равномерного распределения имеет вид:

0

Рис.3

Если непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение, то

, моды равномерное распределение не имеет.

Функция распределения равномерного распределения имеет вид:

График функции изображен на рисунке

Рис.4

Примером случайной величины, имеющей равномерное распределение вероятностей, может служить ошибка при снятии показаний с измерительных приборов, если производится округление отсчета до ближайшего целого деления.

2. Экспоненциальное (показательное) распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Экспоненциальным (показательным) распределением непрерывной случайной величины называется такое распределение, которое описывается следующим выражением для плотности вероятности:

где λ – постоянная положительная величина.

Величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Показательное распределение определяется только одним параметром λ.

Функция распределения вероятностей в этом случае имеет вид:

Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения изображены соответственно на рисунках:

Рис.5 Рис.6

Если непрерывная случайная величина имеет показательное распределение, то

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.

Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную случайную величину - длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, функция распределения определяет вероятность отказа за время длительностью . Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью , т.е. вероятность противоположного события , равна

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительности : Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого . Следовательно, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид .

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством , где λ – интенсивность отказов.