§ 3. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

1. Равномерное распределение вероятностей дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина, принимающая значений, распределена равномерно, если вероятность того, что примет определенное значение выражается формулой

.

Например, равномерному закону распределения подчиняется случайная величина, означающая число появлений герба при одном подбрасывании монеты

2. Биномиальное распределение вероятностей дискретной случайной величины

Биномиальным распределением является распределение вероятностей появления числа событий в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Вероятность возможного числа появления события вычисляется по формуле Бернулли

,

где Постоянные и , входящие в это выражение, являются параметрами биномиального закона.

Биномиальное распределение описывает распределение вероятностей только дискретных случайных величин. Возможными значениями случайной величины являются . Биномиальному распределению подчиняется, например, число бракованных изделий в выборках из неограниченной партии продукции.

Биномиальное распределение может быть задано в виде таблицы:

Таблица 1

	0	1	2	…
				…

и в виде функции распределения

Если случайная величина имеет биномиальное распределение, то

Особенностью биномиальных распределений является то, что вероятность сначала возрастает при увеличении и достигает наибольшего значения при некотором наивероятнейшем значении , которое можно определить из неравенства . Значение является модой биномиального закона. Если имеются два наивероятнейших значения, то распределение является бимодальным. Отметим, что для любого биномиального распределения расстояние между математическим ожиданием и модой не превосходит единицы. Если - целое число, то математическое ожидание и мода совпадают. После достижения наивероятнейшего значения вероятность начинает убывать. Распределение, вообще, ассиметрично, за исключением случая, когда .

3. Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что примет определенное значение выражается формулой

Закон Пуассона описывает число событий , происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. При этом число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала. Поэтому закон Пуассона называется еще законом распределения редких явлений. Параметром распределения Пуассона является величина , характеризующая интенсивность появления событий в испытаниях ( ).

Этим распределением хорошо описывается число требований на выплату страховых сумм за год; число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенное время суток; число запасных частей на сезон.

Закон распределения Пуассона может быть задан в виде ряда:

Таблица 2

	0	1	2	…		…
				…		…

Если случайная величина имеет распределение Пуассона, то