7. Точечная и интервальная оценки
Доверительный интервал
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Рассмотренные выше оценки ( , ) точечные.
При выборках малого объема точечная оценка может существенно отличаться от оцениваемого параметра. В этом случае целесообразно использовать интервальные оценки.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.
Пусть
найденная по данным выборки величина
служит оценкой неизвестного параметра
.
Оценка
определяет
тем точнее, чем меньше
,
т.е. чем меньше
в неравенстве
,
.
Так как - случайная величина, то и разность - случайная величина. Поэтому неравенство при заданном может выполняться только с некоторой вероятностью.
Доверительной вероятностью (надежностью) оценки параметра называется вероятность γ, с которой оценивается неравенство . Обычно задается надежность γ и определяется . Чаще всего вероятность γ задается значениями 0,95 и выше.
Доверительным интервалом называется интервал
( - , + ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.
8. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и в случае неизвестного
Пусть
случайная величина
имеет нормальное распределение и
известно ее среднее квадратическое
отклонение
.
Требуется найти доверительный интервал,
покрывающий математическое ожидание
с надежностью γ, с учетом полученного
значения выборочного среднего
.
Как уже отмечалось, выборочная средняя
является случайной величиной, поэтому
ее можно обозначить
.
С учетом этого
,
где
определяем по таблице функции Лапласа
из выражения
.
При этом
называется точностью оценки.
Теорема
Ляпунова утверждает, что если случайная
величина
имеет
конечное математическое ожидание
и среднее квадратическое отклонение
,
то распределение средней арифметической,
вычисленной по наблюдавшимся значениям
случайной величины в
независимых испытаниях, при
приближается к нормальному закону с
математическим ожиданием
и средним квадратическим отклонением
.
Поэтому при
формулу
можно применять и в случае, если сама
случайная величина
не имеет нормального распределения.
Пусть
случайная величина
имеет нормальное распределение, причем
ее среднее квадратическое отклонение
неизвестно. Требуется найти доверительный
интервал, покрывающий математическое
ожидание
с надежностью γ, с учетом полученного
значения выборочного среднего
.
В этом случае доверительный интервал
имеет вид
,
где
-
«исправленное» среднее квадратическое
отклонение, а
находим из Приложения 8 для распределения
Стьюдента по известным
и γ.
При неограниченном возрастании объема выборки распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n>30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.
Однако
важно подчеркнуть, что для малых выборок
(
),
в особенности для малых значений
,
замена распределения нормальным приводит
к грубым ошибкам, а именно к неоправданному
сужению доверительного интервала. То
обстоятельство, что распределение
Стьюдента при малой выборке дает не
вполне определенные результаты (широкий
доверительный интервал), вовсе не
свидетельствует о слабости метода
Стьюдента, а объясняется тем, что малая
выборка содержит малую информацию об
интересующем нас признаке.