§ 2. Статистические оценки

1. Несмещенные, эффективные и

состоятельные оценки

Одной из центральных задач математической статистики является задача оценки теоретического распределения случайной величины на основе выборочных данных. При этом предполагается, что закон распределения генеральной совокупности известен, но неизвестны его параметры, такие, например, как математическое ожидание и дисперсия. Требуется найти приближенное значение этих параметров, т.е. получить их статистические оценки.

Обозначим через оценку некоторого теоретического параметра закона распределения случайной величины . Рассматривая выборочные значения , , …, как реализации случайных величин , , …, , получивших конкретные значения в результате опытов, можно представить оценку как функцию этих случайных величин. Это значит, что оценка тоже является случайной величиной.

Если для оценки некоторого параметра взять несколько выборок, то в общем случае получим столько же различных случайных оценок , , …, . Математическое ожидание случайной величины , имеющей отмеченные реализации, может как совпадать, так и не совпадать с оцениваемым параметром .

Несмещенной называется статистическая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , т.е. .

Смещенной называется статистическая оценка , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру . Так же как и для любой случайной величины, оценка может иметь большой или небольшой разброс (дисперсию) относительно математического ожидания.

Эффективной называется статистическая оценка, которая при одних и тех же объемах выборки имеет наименьшую дисперсию.

В некоторых случаях становится интересным поведение оценки при неограниченном увеличении объемов выборки.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объемов выборки стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. . В частности, если дисперсия оценки при стремится к нулю, то такая оценка является состоятельной.

2. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Пусть проведена выборка объема . Выборочной средней называют среднее арифметическое значений выборки.

Если все значения выборки , , …, различны, то

.

Если же варианты , , …, имеют соответственно частоты , , …, , то

,

где + +…+ = .

В некоторых случаях выборочные значения случайной величины целесообразно разбивать на отдельные группы. В каждой группе можно найти ее среднюю.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений выборки, принадлежащих группе.

По этим групповым средним можно найти среднее для всей выборки.

Общей средней называют среднее арифметическое значение групповых средних.

Для характеристики рассеивания выборочных значений относительно выборочного среднего вводится понятие выборочной дисперсии.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего.

Если все значения выборки , , …, различны, то

.

Если же варианты , , …, имеют соответственно частоты , , …, , то

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называется арифметическое значение квадратного корня из выборочной дисперсии: .

Выборочная средняя является несмещенной оценкой, а выборочная дисперсия – смещенной оценкой. Если выборочную дисперсию умножить на дробь , называемую поправкой Бесселя, то получим несмещенную оценку, называемую «исправленной» выборочной дисперсией:

.

Соответственно, «исправленным» средним квадратическим отклонением называется арифметическое значение квадратного корня из «исправленной» выборочной дисперсии.