2. Матриці

2.1. Види матриць

Матриця – двовимірний масив чисел вигляду:

Матриця характеризується розмірністю m n, тобто добутком числа рядків m на число стовпців n.

Квадратна матриця має m = n і розмірність n² = n n.

Діагональна матриця є різновидом квадратної матриці вигляду:

У ней усі елементи нульові, крім діагональних, тобто A[i][j]  0 при i = j.

Одинична матриця – різновид діагональної матриці, у якої поточний елемент A[i][j] = 1 при i = j.

Транспонованою матрицею А^Т називається квадратна матриця, у якої стовпці відповідають рядкам квадратної матриці А.

Діагональні елементи в матриці А і А^Т, однакові й операція транспонування зводиться до перестановки інших елементів симетрично щодо діагоналі. Це реалізується за допомогою співвідношення a^T_ij =a_ij при i ≠ j:

2.2. Операції з матрицями

Операції з константами. Операції з константами зводяться до додавання або віднімання кожного елемента матриці з константою:

С[i][j]= A[i][j]  X,

або множення

C[i][j]=A[i][j] * X

чи ділення

C[i][j]=A[i][j] / X на константу.

Додавання і віднімання для двох матриць А і В з однаковою розмірністю m = n виконується за формулою:

c_ij = a_ij  b_ij ,

де i = 1,2,…,m та j = 1,2,…,n….

Тут с_ij – елементи результуючої матриці С.

Множення матриці А з розмірністю m = n і В з розмірністю n  l (число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В) виконується за формулою:

,

де j = 1,2,…,l та k=1,2,…,m….

Отримана матриця С має розмірність m l.

Множення матриці А з розмірністю m  n на вектор R з розмірністю n (число стовпців матриці А дорівнює числу рядків R) здійснюється за формулою:

,

де i=1,2,…,m. Одержуваний вектор U має розмірність m .

Приклад 4: А[4][5]  R[5] = U [4] (тобто m = 4, n = 5):

Визначником матриці D розміром 22 називається число, що позначається символом

;

.

Визначником матриці D розміром 33 називається число, що позначається символом

;

.

Визначник матриці D розміром 44 визначається за формулою:

Приклад 5:

; ; .

Сідлова точка матриці. Матриця А має сідлову точку А_ij , якщо A_ij є мінімальним елементом у i-оу рядку і максимальним у j-му стовпці.

Приклад 6: Дана матриця А[3][3] та В[3][3]. Знайти сідлові точки матриць.

А₁₁=5 – це сідлова точка матриці А.

Матриця В сідлова точку не має.

Операція згладжування матриці. Операція згладжування матриці дає нову матрицю того ж розміру, кожен елемент якої виходить як середнє арифметичне наявних сусідів відповідного елемента початкової матриці. Сусідами елемента А_ij у матриці А назвемо елементи A_kl з ( і - 1 ≤ k ≤ 0 i + 1 ), ( j - 1 ≤ l ≤ j + 1 ), ( k , l ) ≠ ( i , j ).

Приклад 7: Дана матриця А[6][5]. Побудувати результат згладжування заданої матриці А.

Елемент отримаємо, як

,

елемент

,

елемент

.

І так далі.

4. Варіанти завдань до курсової роботи

1. Дано прямокутну матрицю дійсних чисел [810]. Створити файл для обчислення значення при х = 0,5, с = 0,5, d = 0,75. Помножити вихідну матрицю на значення y. Визначити: кількість рядків, що не містять жодного нульового елемента; максимальне з чисел, що зустрічаються в даній матриці більше одного разу.

2. Дано цілочислову прямокутну матрицю. Транспонувати матрицю. Визначити кількість стовпців, що не містять жодного нульового елемента в отриманій матриці. Переставляючи рядки отриманої матриці, розташувати них відповідно до зростання характеристик. Характеристикою рядка цілочислової матриці назвемо суму її додатних парних елементів. Створити файл для обчислення при х = 0,5, с = 0,5, d = 0,75. Помножити отриману матрицю на значення y.

3. Дано цілочислову прямокутну матрицю. Транспонувати матрицю. Розділити отриману матрицю на значення , де у = –4,45, с = 0,52, х = 0,44. Визначити кількість стовпців, що містять хоча б один нульовий елемент; номер рядка, у якому міститься найдовша серія однакових елементів.

4. Дано цілочислову квадратну матрицю. Транспонувати матрицю. Визначити в отриманій матриці добуток елементів у тих рядках, що не містять від’ємних елементів. Максимум серед сум елементів діагоналей, рівнобіжних головній діагоналі матриці.

5. Дано цілочислову квадратну матрицю. Розділити вихідну матрицю на значення , де у = –4,45, с = 0,52, х = 0.44. Визначити добуток елементів у тих стовпцях, що не містять від’ємних елементів. Мінімум серед сум модулів елементів діагоналей, рівнобіжних побічній діагоналі матриці.

6. Дано дві матриці розмірністю [33]. Знайти різницю матриць. Визначити суму елементів у тих рядках отриманої матриці, що містять хоча б один від’ємний елемент. Номера рядків і стовпців усіх сідлових точок (матриця А має сідловую точку А_ij , якщо A_ij є мінімальним елементом у i-му рядку і максимальним у j-му стовпці).

7. Дано дві матриці розмірністю [55]. Знайти різницю матриць. Визначити суму елементів у тих рядках отриманої матриці, що містять хоча б один від’ємний елемент. Номера рядків і стовпців усіх сідлових точок (матриця А має сідловую точку А_ij , якщо A_ij є мінімальним елементом у i-му рядку і максимальним у j-му стовпці).

8. Дано цілочислову матрицю. Характеристикою стовпця матриці назвемо суму модулів його від’ємних непарних елементів. Переставляючи стовпці заданої матриці, розташувати них відповідно до зростання характеристик. Помножити отриману матрицю на значення , де х = 0,05.

9. Побудувати результат згладжування заданої дійсної матриці розміром [1010]. Операція згладжування матриці дає нову матрицю того ж самого розміру, кожен елемент якої виходить як середнє арифметичне наявних сусідів відповідного елемента вихідної матриці. Сусідами елемента А_ij у матриці назвемо елементи A_kl з (і - 1≤ k ≤i + 1), (j - 1≤ l ≤ j + 1), (k, l) ≠ (i, j). У згладженій матриці знайти суму модулів елементів, розташованих нижче головної діагоналі.

10. Побудувати результат згладжування заданої дійсної матриці розміром [88]. Операція згладжування матриці дає нову матрицю того ж самого розміру, кожен елемент якої виходить як середнє арифметичне наявних сусідів відповідного елемента вихідної матриці. Сусідами елемента А_ij у матриці назвемо елементи A_kl з (і - 1≤ k ≤i + 1, j - 1≤ l ≤ j +1), (k, l) ≠ (i, j). У згладженій матриці знайти суму модулів елементів, розташованих вище головної діагоналі.

11. Дано матрицю [1010]. Розділити вихідну матрицю на значення , де х = 1,5, а = 4, р = 1,6. Порахувати кількість локальних мінімумів отриманої матриці. Елемент матриці називається локальним мінімумом, якщо він строго менше ніж всі наявні у нього сусіди. Знайти суму модулів елементів, розташованих вище головної діагоналі.

12. Дано дві цілочислові матриці розмірністю [57]. Знайти різницю матриць. Визначити номер першого зі стовпців, що містять хоча б один нульовий елемент. Переставляючи рядки заданої матриці, розташувати їх відповідно до зростання характеристик. Характеристикою рядка матриці назвемо суму її додатних парних елементів.

13. Дано дві цілочислові матриці розмірністю [57]. Знайти різницю матриць. Помножити отриману матрицю на значення , де х =0 ,05. Визначити кількість від’ємних елементів у тих рядках, що містять хоча б один нульовий елемент.

14. Дано дві цілочислові матриці розмірністю [65]. Знайти суму матриць. Помножити отриману матрицю на значення у: , де х = 1,5, а = 4, р = 1,6. Визначити: кількість рядків, що не містять нульових елементів; мінімальне з чисел, які зустрічаються в даній матриці більше одного разу.

15. Дано дві цілочислові матриці розмірністю [47]. Знайти суму матриць. В отриманій матриці визначити: кількість рядків, що містять хоча б один нульовий елемент; номер рядка, у якому міститься найдовша серія однакових елементів.

16. Дано дві матриці розмірністю [33]. Перемножити матриці. Помножити отриману матрицю на значення у: , де х = 2,1, а = 4,5, р = 1,6 Обчислити визначник результуючої матриці. Відсортувати стовпці матриці по зростанню. Знайти суму модулів елементів, розташованих вище головної діагоналі.

17. Дано дві матриці розмірністю [44]. Перемножити матриці. Розділити отриману матрицю на значення b: , де х = 4,5. Порахувати визначник результуючої матриці. Відсортувати рядки матриці за зростанням. Знайти суму модулів елементів, розташованих під побічною діагоналлю.

18. Дано прямокутну матрицю дійснних чисел розмірністю [57]. Розділити матрицю на значення , де х = 0,54, у = 4,87, b = 4. Визначити кількість від’ємних елементів у тих рядках, що містять хоча б один нульовий елемент.

19. Дано дві цілочислові матриці розмірністю [88]. Перемножити матриці. Розділити отриману матрицю на значення , де х = 0,54, у = 4,87, b = 4. Визначити в отриманій матриці суму елементів у тих рядках, що не містять від’ємних елементів, суму елементів головної діагоналі.

20. Дано дві цілочислові матриці розмірністю [88]. Перемножити матриці. Визначити суму елементів у кожнім рядку, суму елементів головної діагоналі. Номери рядків і стовпців усіх сідлових точок (матриця А має сідлову точку А_ij , якщо A_ij є мінімальним елементом в i-му рядку і максимальним в j-му стовпці).

21. Дано дві матриці розмірністю [33]. Перемножити матриці. Обчислити визначник результуючої матриці. Визначити суму елементів у кожному стовпці, суму елементів побічної діагоналі, кратних 5. Номери рядків і стовпців усіх сідлових точок (матриця А має сідлову точку А_ij , якщо A_ij є мінімальним елементом в i-му рядку і максимальним у j-му стовпці).

22. Дано дві матриці розмірністю [33]. Знайти різницю матриць. Обчислити визначник результуючої матриці. Знайти суму додатних елементів у кожному стовпці матриці, звести в куб елементи головної діагоналі. Визначити номери рядків і стовпців усіх сідлових точок (матриця А має сідлову точку А_ij , якщо A_ij є мінімальним елементом в i-му рядку і максимальним у j-му стовпці).

23. Дано дві матриці розмірністю [44]. Знайти різницю матриць. Обчислити визначник результуючої матриці. Визначити суму елементів у тих рядках, що не містять від’ємних елементів, елементи побічної діагоналі піднести до степеня р, де , х = 0,54, у = 4,87, b = 0,5.

24. Дано дві матриці розмірністю [33]. Знайти суму матриць. Знайти визначник результуючої матриці. Переставляючи рядки заданої матриці, розташувати їх відповідно до зростання характеристик. Характеристикою рядка матриці назвемо суму її додатних парних елементів.

25. Дано дві матриці розмірністю [33]. Знайти суму матриць. Знайти визначник результуючої матриці. Елементи побічної діагоналі результуючої матриці піднести до степеня р, де , х = 0,54, k = 0,05, а=0,2. Визначити номери рядків і стовпців усіх сідлових точок (матриця А має сідлову точку А_ij , якщо A_ij є мінімальним елементом в i-му рядку і максимальним в j-му стовпці).