2.6 Відображення в просторі

Іноді потрібно виконати дзеркальне відображення тривимірного зображення. У трьох вимірах найпростіше відображення здійснюється щодо площини. Для відображення без зміни масштабів необхідно, щоб визначник перетворення дорівнював (-1,0). При відображенні щодо площини xy змінюється тільки знак координати z. Отже, матриця перетворення для відображення щодо площини xy має вигляд:

Т = (2.10)

Матриця перетворення для відображення щодо площини уz має вигляд: Т = (2.11)

Відображення одиничного куба щодо площини yz показане на рис.2.7.

Рис. 2.7 Площина YZ Рис. 2.8 Площина XZ

Матриця перетворення для відображення щодо площини xz має вигляд:

Т = (2.12)

Відображення одиничного куба щодо площини xz показане на рис.2.8.

Відображення щодо інших площин можна одержати шляхом комбінації обертання і відображення.

2.7 Просторовий перенос

Тривимірний лінійний перенос зображення задається виразом

(2.13)

Після перемножування одержимо:

(2.14)

Приклад просторового переносу фігури із координатами точок А(2,-2,0), В(2,-2,2), С(2,0,0), D(2,0,2), E(4,-2,0), F(4,-2,2), G(4,0,0), I(4,0,2) для l=2; m= -2; n=0, що дало нові коoрдинати точок, а власне A*(4,-4,0), B*(4,-4,2), C*(4,-2,0), D*(4,-2,2), E*(6,-4,0), F*(6,-4,2), G*(6,-2,0), I*(6,-2,2), приведено на рис.2.9.

Рис. 2.9 Просторовий перенос фігури

2.8 Тривимірне обертання навколо довільної осі

Метод двовимірного плоского обертання навколо довільної осі був розглянений раніше. Узагальненням цього методу є спосіб обертання навколо довільної осі в тривимірному просторі. Як і для плоского обертання навколо довільної осі, розглянена процедура полягає в переносі зображення і заданої осі обертання, що забезпечує обертання навколо осі, що проходить через початок координат. Метод тривимірного обертання полягає в лінійному переносі, обертанні навколо початку координат і зворотньому лінійному переносі у вихідне положення. Якщо вісь, навколо якої виконується обертання, проходить через точку А = (1 m n 1) , то матриця перетворення визначається наступним виразом:

(X Y Z H) = (x y z 1) ( 2.15)

де елементи матриці обертання R розміру 4х4 визначаються в загальному випадку співвідношеннями:

(2.16)

Результат добутку матриць приведено на рис.2.10:

Рис. 2.10 Тривимірне обертання навколо довільної осі

Порядок роботи

1. У графічному редакторі Visio побудуйте декартову систему координат у просторі. Виберіть одну із аксонометричних проекцій, в якій будете відтворювати фігури: ізометричну чи диметричну.

2. Задайте одиниці вимірювань (масштабування). Якщо побудова фігур у просторі буде здійснюватися в ізометричних проекціях, то кожен відрізок, напрямлений по осям x, y, z зберігає свою величину.У диметричній проекції по осям x i Y , чи паралельно їм, відкладають всі розміри в натуральну величину, а по осі Z - розміри зменшують вдвічі.

3.Побудуйте (нарисуйте у Visio) куб з одиничними координатами точок А(0,0,0), В(0,0,1), С(0,1,0), D(0,1,1), E(1,0,0), F(1,0,1), G(1,1,0), I(1,1,1).

4. Здійсніть зміну масштабу куба на величину, яка дорівнює останній цифрі вашої залікової книжки. Якщо остання цифра дорівнює нулю, візьміть передостанню цифру, тощо.

5. Задайте тривимірний зсув одиничного куба згідно шести останніх цифр залікової книжки, які будуть визначати значення коефіцієнтів матриці перетворення (2.5), а власне:

№ залікової книжки	N9	N8	N7	N6	N5	N4	N3	N2	N1
Коефіціенти матриці	-	-	-	i	n	f	d	c	b

6. Поверніть куб навколо осі OY на кут θ, який дорівнює двом останнім цифрам залікової книжки.

7. Здійсніть тривимірний лінійний просторовий перенос одиничного куба згідно (2.13-2.14), якщо значення параметру l дорівнює останній цифрі залікової книжки студента, а значення параметрів m та n - відповідно передостанній і попередній їй цифрам залікової книжки.