Теплоемкость твердых тел.
В конце XIX
и начале XX
веков возникла проблема с объяснением
экспериментальных данных о теплоемкости
твердых тел. В результате исследования
Дюлонг и Пти установили, что молярная
теплоемкость твердых тел
,
при этом независимо от того, кристаллическое
или аморфное тело, проводник или
диэлектрик.
Классическая
физика объясняла это так: энергия,
приходящаяся на одну степень свободы
иона, совершающего колебания в твердом
теле,
.
Но это кинетическая энергия
.
Кроме кинетической ион обладает
потенциальной энергией
при колебаниях, максимальное значение
которой тоже должно быть равно
.
Но в конце XIX века появляется идея о том, что в металле наряду с ионами существует электронный газ. Друде один из авторов этой идеи.
Используя модель электронного газа, Друде сумел хорошо описать и объяснить законы с теплопроводностью, электропроводностью.
При изучении распределения по скоростям электронной и термоэлектронной эмиссии оказалось, что они подчиняются закону распределения Максвелла, что подтверждало правильность идеи о существовании электронного газа. Т.е. электронный газ можно рассмотреть как классический газ.
Но если это так,
то теплоемкость этого электронного
газа должна быть
+ теплоемкость ионов:
,
что противоречило эксперименту Дюлонга
– Пти.
Объяснение связано с тем, что электроны в металле, образующие электронный газ, подчиняются не классическим законам, а квантовым, т.к. электроны являются квантовыми частицами и относятся к классу фермионов.
Для класса фермионов является характерным распределение Ферми:
,
,
в отличие от бозонов.
Оценим значение химического потенциала и выявим его физическую суть. Для этого будем полагать металл находящимся при абсолютном нуле температур.
Возможны два случая:
Энергия -того уровня
.
- на соответствующем
уровне будет находиться только один
электрон.
2.
,
-ый
уровень по своему значению превосходит
.
,
- дополнение к уровню нулевое.
Диаграмма энергетических уровней:
з
а
счет различия по спину не более двух
электронов.
Физический смысл : химический потенциал соответствует энергии последнего заполненного электронами уровня в металле при абсолютном нуле.
Для оценки значения
рассмотрим соответствующее этому уровню
фазовое пространство. Объем этого
пространства
,
.
С
соответствующий фазовый объем:
- число возможных квантовых состояний.
- число элементов
в данном фазовом объеме.
- химический
потенциал выражающийся через концентрацию.
Определение среднего значения электронов в электронном газе в Металле при абсолютном нуле
Выделим некоторые
значения энергии
и соответствующий этой энергии интервал
Соответствующий
фазовый
Проинтегрируем соответствующие выражение по простым координатам, а в пространстве импульсов придем к сферической системе координат.
.
Тогда левая и правая часть представляют собой число квантовых состояний, попадающих в выделенный интервал энергии.
- число электронов.
- энергия электронов
в выделенном фазовом объеме.
Если проинтегрировать выражение от 0 до по возможным значениям то
- полная энергия
всех электронов находящихся в электронном
газе при абсолютном нуле.
Перейдем от
к
,
выразим
из
выражения для химического потенциала.
Суммарная энергия
электронов электронного газа
Средняя энергия
приходится на 1 электрон:
Эта энергия не связана с тепловым движением, носит сугубо квантовый характер.
Значение внутренней энергии электронного газа (без вывода):
где
.
Это выражение позволяет определить теплоемкость:
Вместо
его выражение:
.
Т.к. речь идет о
молярной теплоемкости, то
:
- у газа.
,
,
.
Т.о. теплоемкость электронного газа, с учетом квантовых явлений оказалась в сотню раз меньше, чем теплоемкость идеального газа. Экспериментально выделить эту погрешность было сложно в силу неточности прибора.
С точки зрения квантовой модели электронного газа большинство электронов, как и при абсолютном нуле, упакованы на энергетических уровнях и участия в электро- и теплопроводности не принимают.
Лекция №15