Комбинаторные свойства

• Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2.

• Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

• Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

p — число сторон каждой грани;

q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Многогранник		Вершины	Рёбра	Грани	Символ Шлефли
тетраэдр		4	6	4	{3, 3}
куб		8	12	6	{4, 3}
октаэдр		6	12	8	{3, 4}
додекаэдр		20	30	12	{5, 3}
икосаэдр		12	30	20	{3, 5}

• Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

Призма, параллелепипед и куб.

Призма— многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Или (равносильно) — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. На рис.79 показана наклонная призма.

Свойства призмы

• Основания призмы являются равными многоугольниками.

• Боковые грани призмы являются параллелограммами.

• Боковые ребра призмы параллельны и равны.

• Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

• Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

• Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра.

• Площадь боковой поверхности правильной призмы , где — периметр основания призмы, , — высота призмы.

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.

• Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением: d ² = a ²+ b ² + c ². Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Куб или правильный гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Свойства куба

• Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.

• В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным, а его объём составляет 1/3 от объёма куба.

• В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.

• Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

• В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба находится по формуле , где d — диагональ, а — ребро куба.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Конус является частным случаем пирамиды.

Элементы пирамиды

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины^[3];

• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

• боковые ребра — общие стороны боковых граней;

• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Тогда она обладает такими свойствами:

1)боковые ребра правильной пирамиды равны;

2)в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные

равнобедренные треугольники;

3)в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать

около неё сферу;

4)если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма

плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них

5)соответственно , где n — количество сторон многоугольника

основания;

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине

произведения периметра основания на апофему.