4. Решение однородного волнового уравнения на отрезке конечно-разностным методом (методом сеток)

Пусть требуется решить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения на отрезке :

_{, ,} (7)

, , _, (8)

, (9)

где f(x), g(x) – известные непрерывные функции от x, причем

f(0) = f(L) = g(0) = g(L) = 0.

Будем предполагать, что задача (1)-(3) имеет единственное решение в области

Используем конечно-разностный метод, называемый также методом сеток.

1. Будем использовать прямоугольную сетку, построенную на области D, с узлами

где – шаг сетки по х, – шаг сетки по t.

2. Переходим от функций, входящих в математическую модель, к сеточным функциям:

.

3. Строим разностную модель задачи, заменяя вторые частные производные конечными разностями по формулам:

,

и используя для аппроксимации производной формулу Тейлора 2-го порядка:

.

Если выбрать шаг сетки d таким образом, чтобы было выполнено условие , то после подстановки разностных формул для вторых производных и упрощения для а = 1 получаем простое разностное уравнение, соответствующее волновому уравнению (7):

, где .

В итоге получается разностная модель задачи:

Эта система представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно сеточной функции где . Если , причем , то решение разностной схемы сходится к точному решению задачи (7)–(9).