2. Вычисление значения параметра а волнового уравнения

Величина коэффициента зависит от сил натяжения струны Т_н и линейной плотности материала, из которого изготовлена струна - .

Величину линейной плотности материала можно вычислить по формуле:

 = _vS,

где S - площадь сечения струны;

_v - плотность материала.

При решении рассматриваемой задачи величину силы натяжения струны Т_н можно считать постоянной в течение всего процесса и равной максимальному значению силы натяжения, т.е. того значения, которое достигается при максимальном удлинении струны:

, где

Е - модуль Юнга для материала, из которого изготовлена струна;

L- величина удлинения струны (L = L_max - L);

L - длина струны в положении равновесия (расстояние между ее концами).

Окончательно получаем:

.

Значения плотность материала и модуля Юнга можно взять в любом физическом справочнике, в частности, для некоторых материалов:

Материал	Плотность v	Модуль Юнга Е
Алюминий	2,70·103 кг/м3	6,9 ·1010 н/м2
Железо (сталь)	7,87·103 кг/м3	10·1010 -13·1010 н/м2
Никель	8,90·103 кг/м3	20,2 ·1010 н/м2
Медь	8,93·103 кг/м3	11,2 ·1010 н/м2
Серебро	10,5·103 кг/м3	8,1 ·1010 н/м2
Свинец	11,34·103 кг/м3	1,6 ·1010 н/м2

Чтобы вычислить максимальную длину струны L_max, нужно установить, в какой момент времени t₀ она достигается. Для этого можно использовать 3D-график функции U(x, t) и графики сечений этой поверхности плоскостями t = const. Установив (примерно) момент времени t₀ и соответствующую форму кривой в этот момент времени у(x) =U(x, t₀), можно вычислить длину дуги кривой по формуле:

.

3. Решение однородного волнового уравнения на отрезке методом Фурье

Пусть требуется решить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения на отрезке :

_{, ,} (1)

при начальных условиях

, , _, (2)

и граничных условиях

, . (3)

1. Находим вспомогательные решения U(x, t) уравнения (1) в виде

U(x, t) = X(x)T(t),

причем U0,t) = U(L, t) = 0, т.е. Х(0) - Х(L) = 0. Для этого подставляем U(x, t) = X(x)T(t) в уравнение (1) и разделяем переменные. Получаем

,

поэтому функции Х(х) и T{t) являются решениями связанных задач:

а) Х"(х) - λX(х) = 0, Х(0) = Х{L) = 0;

б) Т"(t) - λа²Т(t) = 0.

2. Решаем задачу (а).

Уравнение X" - λX = 0 имеет общее решение . Из граничных условий Х(0) = Х{L) = 0 следует, что

3. Решаем задачу (б). При имеем: .

Общее решение этого уравнения есть

4. Итак, вспомогательные решения уравнения (1) имеют вид:

где , - постоянные, которые предстоит найти.

5. Решение задачи (1)-(3) ищем в виде

(4)

Эта функция является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным условиям (3) при любых А_п и В_п, при которых ряд (4) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно.

6. Находим коэффициенты А_п и В_п, при которых U(x, t) удовлетворяет начальным условиям (2).

Полагая в (4) t = 0, получаем , отсюда можно получить

(5)

Дифференцируя равенство (4) по t, имеем:

.

Полагая здесь t = 0 и используя начальное условие (2), получаем: ,

Откуда получим:

(6)

Подставляя эти коэффициенты в формулу (4), получаем искомое решение задачи (1)-(3): разложение функции U(x, t) в ряд Фурье.