9. Список рекомендуемой литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т.2. –М.: Интеграл-Пресс, 2001. – 544с.

2. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер. с англ. –М.: Мир, 1985. – 384с.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб.для втузов. – М.: Издательство МГУ, 1999. – 798с.

4. Ланина Н.Р. Сеточные методы решения дифференциальных уравнений. – Мурманск: МГТУ, 1996. – с.

5. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб.пособие для втузов. – М.: Высш.шк., 1989. – 608с.

6. Детлаф А.А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособие для втузов: – М.: Высш. шк., 1989. – 608 с.: ил.;

7. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике: - М.: Наука, 1988. – 256 с.

Приложение 1. Титульный лист

КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО РЫБОЛОВСТВУ

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт дистанционного обучения

Кафедра ВМ и ПО ЭВМ

Курсовая работа

на тему: «Математическое моделирование физического процесса

с использованием системы Mathematica»

для специальности 230105 «ПО ВТ и АС»,

дисциплина «Прикладные математические пакеты»

вариант _____

Студент

ИДО, 2 курс, ________________________________ А.А.Веслов

Курсовая работа зачтена с оценкой «_______________________________»

Руководитель

Доцент ______________________________Л.Г. Мостовская

Мурманск, 2009 год

Приложение 2. Справочный материал

1. Математические модели физических процессов

Математическая физика - это раздел математики, в котором изучаются математические модели описания физических процессов. При описании физических явлений в качестве моделей могут служить конечные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с частными производными и др. Большинство физических задач описывается при помощи дифференциальных уравнений. Например, математической моделью колебаний материальной точки являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Однако, если описывать колебания не точки, а тела, то математической моделью будут уже дифференциальные уравнения с частными производными.

В математической физике наиболее общие результаты получены для линейных уравнений второго порядка с частными производными:

,

где (x,y) – точка 2-мерного пространства (плоскости);

a, b, c, d, e, f, g, F – известные непрерывные функции от x, y (в частности, постоянные), заданные в области D; U=U(x,y); .

Если F(x,y ) = 0, то линейное уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Математической моделью малых колебаний струны (упругой нити, не сопротивляющейся изгибу) является волновое уравнение

, (1)

где неизвестной является функция U(x, t) - смещение струны в точке х в момент времени t от положения равновесия, - плотность равнодействующей всех внешних сил, действующих на струну. Если внешние силы отсутствуют, т.е. , то

(2)

- уравнение свободных колебаний струны (однородное волновое уравнение).

Величина зависит от сил натяжения Т_н и линейной плотности материала, из которого изготовлена струна - .

Любое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное число решений. Для описания реального физического процесса кроме дифференциальных уравнений необходимо задать еще начальное состояние процесса – начальные условия, а также значения неизвестной функции и ее производных на границе области определения процесса – граничные условия. Например, при решении уравнения (1) главное не в том, чтобы найти все решения, а в том, чтобы найти то решение, которое описывает колебание струны в конкретной задаче.

Начальные условия задают, как правило, при t = 0.

Граничные (или краевые) условия задают на границе рассматриваемой области D в любой момент времени .

Задача о решении дифференциального уравнения с частными производными при заданных начальных и граничных условиях называется смешанной задачей.

Все эти дополнительные условия должны быть непротиворечивыми, т. е. необходимо, чтобы существовало решение, удовлетворяющее всем этим условиям, и эти условия должны задавать единственное частное решение дифференциального уравнения.

Кроме того, желательно, чтобы полученное решение было устойчивым – т.е. малые изменения дополнительных условий или коэффициентов в исходном дифференциальном уравнении приводили бы к малым изменениям решения. В этом случае говорят, что решение уравнения непрерывно зависит от дополнительных условий и от коэффициентов уравнения.

При решении волнового уравнения можно рассматривать 2 типа задач.

Задача Коши (для струны бесконечной длины). Требуется найти решение волнового уравнения U(x, t) при заданных начальных условиях:

1) - смещение струны в точке х в момент времени t = 0 (начальная форма струны);

2) - начальная скорость струны в точке х в момент времени

t = 0.

Математической моделью задачи Коши является волновое уравнение и начальные условия 1), 2).

Смешанные задачи (если струна имеет конечную длину и закреплена на концах). Требуется найти решение волнового уравнения U(x, t) при заданных начальных условиях (1), (2) и граничных условиях.

Граничные условия при этом могут быть такие:

а) конечная струна расположена на отрезке , концы струны закреплены: для ;

б) конечная струна расположена на отрезке , концы струны не закреплены, а двигаются по закону: , где - заданные функции.

Оба типа задач имеют единственное решение.

Граничные условия могут быть и другой природы. Можно наложить определенные требования на угловой коэффициент формы струны в граничных точках. Например, можно потребовать, чтобы струна была горизонтальной в точке x = 0 или в точке x = L:

или ,

или задать закон изменения углового коэффициента формы струны в граничных точках:

или .

Математической моделью смешанной задачи является волновое уравнение, начальные условия 1), 2) и граничные условия какого-либо типа.