6. Рекомендации по выполнению курсовой работы

Титульный лист оформляется в соответствии с приложением 1 настоящих методических указаний.

Теоретическая часть.

Анализ поставленной задачи должен включать:

1) формулировку поставленной задачи математической физики;

2) комментарии: порядок и вид уравнения, тип поставленной задачи;

3) графики начальной формы струны, начальной скорости и прочее.

При построении математической модели и конечно-разностной модели поставленной задачи рекомендуется использовать справочный материал (приложение 2, п. 1). Модель должна включать все исходные данные поставленной задачи.

Расчетная часть.

Для решения задачи методом Фурье и построения конечно-разностной модели поставленной задачи требуется изучить теоретический материал согласно списку рекомендованной литературы, а также использовать справочный материал (приложение 2, п. 3, 4).

Полученное методом Фурье точное решение U(x, t) должно быть записано в виде ряда, члены которого зависят от n, a, π, все остальные параметры нужно вводить в точном виде, без округлений, например, L = 1/2, а не L = 0,5.

Для вычисления значения параметра а для конкретного материала, из которого изготовлена струна, нужно использовать плотность вещества, модуль Юнга и форму струны, соответствующую ее максимальному удлинению (см. справочный материал, приложение 2, п. 2). Значение параметра а следует вычислить, используя не меньше 5 знаков после запятой.

Проверку достоверности полученного методом Фурье точного решения можно осуществить, построив таблицу сравнения значений заданной функции f(x) и U(x,0) – суммы ряда Фурье, построенного для функции U(x, t) при t = 0, а также таблицу сравнения значений заданной функции g(x) и функции в точках x_i = ih, где . При подстановке следует использовать полученное методом Фурье точное решение U(x, t) с вычисленным ранее значением параметра а.

В случае, когда функция в точке не определена, можно вычислить ее предельное значение, либо взять другое (близкое) значение аргумента.

Для определения отрезка времени [0; Т], в котором будет решаться задача, нужно найти Т из условия T = L/a, где L задано в условии задачи.

Подбор количества членов s ряда Фурье для обеспечения заданной точности решения осуществляется методом проб: находят такое значение s, для которого выполнены условия для .

Таблицы значений точного решения задачи U_S(x,t) – частичной суммы ряда Фурье, построенного для функции U(x, t), и приближённого решения должны иметь одинаковую форму, соответствующую узлам прямоугольной сетки размером 10×10 в области с шагом сетки по х h = L/10 и шагом сетки d = T/10 по t .

Для сравнения приближённого решения U_прибл.= полученного методом сеток, с точным решением U_точн.= U_S(x,t) на сетке размером 5×5 в области необходимо вычислить значения абсолютной погрешности , на той же сетке и выбрать из них наибольшее значение.

Построение геометрических иллюстраций рекомендуется выполнять с использованием системы «Mathematica», теоретического материала 3-го модуля данного курса и лабораторных работ, выполненных ранее. Для иллюстраций точного решения – графика функции U(x, t) (поверхности) и сечений этой поверхности плоскостями t = const можно взять значения t = 0, t = 2d, t = 4d, t = 6d, t = 8d, t = T.

Все расчеты рекомендуется выполнять, используя компьютерную систему Mathematica».

При заполнении таблиц данные следует округлять, используя 3–4 знака после запятой. Для построения таблиц рекомендуется использовать «чистые» функции okr, tab (см. лабораторную работу №2).