3.7 Локальні степені вершин графа

Кількість ребер, які інцидентні вершини , називають локальною степеню вершини графа. Якщо задані матриці інцидентності E або суміжності , то можна визначити локальні степені вершин графа. Дійсно, якщо ребро інцидентне вершини то на перетині -го рядка і -го стовпця маємо 1. В іншому випадку матимемо 0.

Отже, = За матрицею інцидентності (2.1)

Елементи матриці суміжності – це кількість ребер, інцидентних вершинам і .

Звідси = .

Наведені формули справедливості для підрахунку локальної степені (ЛС) вершин графів без петель. У тому випадку коли граф має петлі ЛС вершин графа знаходять за такою формулою(використовується матриця інцидентності).

, де - кількість рядків матриці, - кількість стовпців матриці.

Дійсно, коли ребро звичайне (з’єднує дві вершини),то .

Я кщо ж воно є петлею, то і відповідно , тобто 2 для петель інцидентних вершині і 0 для інших вершин .

Якщо для визначення ЛС вершин графа використовується таблиця суміжностей, то для цієї мети використовується така формула:

Означення 1. Граф називається однорідним степеня k, якщо степені всіх його вершин рівні між собою і дорівнюють k.

Якщо однорідний граф має n вершин і m ребер, то

приклад:

однорідний граф (k=3)

n=4;

Означення 2. Звичайний граф називається повним, якщо кожна пара його вершин з’єднана ребром.

3. 8. Локальні степені вершин орієнтованих графів.

Для орієнтованих графів (орграфів) визначаються дві ЛС вершини.

Перша ЛС- кількість ребер з початком у вершині і друга ЛС- кількість ребер, що закінчуються в вершині. Позначимо ці ЛС для і- тої вершини відповідно через с1(vi) i с2(vi)

Тоді

(3.1)

і (3.2)

Оскільки кожне ребро орграфа має один початок і один кінець, то (3.1) і (3.2) є рівні між собою. Звідси випливає, що в однорідному орграфі степені k з n вершинами і m ребрами m=kn.

3. 9. Частини графа, суграфи та підграфи.

Означення 1. Граф H називають частиною графа G(H G), якщо множина його вершин V(H) міститься в множині V(G), а множина ребер E(H) — в E(G).

Якщо V(H)= V(G), то H називають суграфом.

Суграф H покриває вершини неорієнтованого графа G (є покривним), якщо будь-яка із вершин останнього—інцидентна хоча б одному із ребер H.

Означення 2. Під графом графа G називається частина графа з множиною вершин U V(G), якщо її ребрами є всі ребра з E(G), обидва кінці яких належать U.

Підграф – зірка.

3. 10. Операції з частинами графа.

Доповнення частини H називається множина всіх частин графа G, що не належать H.

Об’єднання H1 і H2 визначається так:

V(H1 H2)= V(H1) V(H2); тобто об’єднання вершин і

E(H1 H2)= E (H1) E (H2). об’єднання ребер.

Переріз H1 і H2 визначають аналогічно

V(H1 H2)= V(H1) V(H2);

E(H1 H2)= E(H1) E(H2).

Дві частини H1 і H2 не перерізаються по вершинам, якщо вони не мають спільних вершин, а значить і спільних ребер.

Об’єднання H1 H2 частин, що не перерізаються по вершинам, називають прямою сумою H1 і H2. Частини H1 і H2 не перерізаються по ребрах, якщо E(H1) E(H2)=0.