Н а рис. 5 зображені гамільтонів, напівгамільтонов і не гамільтонів графи.

а) б) в)

Рисунок 3. 5 - Гамільтонів, напівгамільтонов і не гамільтонів графи

Незважаючи на подібність постановки задач для гамільтонових графів з Ейлеровими, задовільного рішення для гамільтонових графів немає. Взагалі, про гамільтонові графи відомо дуже мало.

Приведемо без доказу найвідомішу теорему.

Теорема (Дирак, 1952). Якщо у зв'язному графі з п вершинами степені всіх вершин більше або рівні п/2, то граф гамільтонів.

3.4 Задання графа за допомогою матриці інцидентності.

Задати граф означає задати множини його вершин і ребер та відношення інцидентності. Коли граф G – скінчений його вершини та ребра нумерують: - вершини графа G; - його ребра. Відношення інциндентності можна задати матрицею E, що має m рядків і n стовпців. Елементи цієї матриці , , ;

Я кщо ребро інцидентне вершині і в протилежному випадку. Ця матриця інцидентності звичайного графа є способом його визначення.

Рисунок 3.6 – Звичайний граф

Дещо по-іншому формується матриця інцидентності E для орієнтованого графа. Якщо -початок дуги, то , а якщо - кінець дуги, то . В тому випадку, коли -петля , де - число відмінне від 1,0 і -1.(Наприклад )

		1	1	0	0	0	0	0
		1	0	1	0	0	0	0
		0	1	0	1	0	0	0
		1	0	0	0	1	0	0
		0	1	0	0	0	1	0
		0	0	1	1	0	0	0
		0	0	1	0	1	0	0
		0	0	0	1	0	1	0
		0	0	0	0	1	0	1
	0		0	0	0	0	1	1
	0		0	0	0	1	1	0

Рисунок 3. 7 – Орієнтований граф (орграф).

	-1	1	0	0	0	0	0
	-1	0	1	0	0	0	0
	0	-1	0	1	0	0	0
	0	0	-1	0	1	0	0
	0	0	-1	0	0	1	0
	0	0	-1	0	0	0	1
	0	0	0	0	0	0	-2
	0	-1	1	0	0	0	0

Матриця інцидентності.

П риклад. Скласти матрицю інцидентності для графа:

Рисунок 3. 8 - Мультиграф

	1	0	0	1
	1	0	0	1
	1	1	0	0
	1	0	1	0
	0	1	1	0
	0	0	0	1

	0	1	1	0
	1	0	1	0
	1	1	0	0
	2	0	0	0