§ 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Опр. Уравнение вида

(1),

где Р(х) и Q(х) – заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка (это уравнение линейное относительно неизвестной функции у и ее производной).

Рассмотрим метод подстановки, с помощью которого уравнение (1) сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение линейного уравнения (1) будем искать в виде , тогда . Подставим в (1):

,

(*)

Выберем функции так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, то есть – д.у. с разделяющимися переменными.

, ,

, , , .

Выберем в качестве v одно из частных решений:

Подставим в (*):

, .

Пример 5.1. Найти частное решение , .

Решение.

(*)

– общее решение.

, , – частное решение.

Пример 5.2. , .

Ответ: .

§ 6. Уравнение Бернулли

Опр. Дифференциальное уравнение вида

, где , , ,

Р(х) и Q(х) – заданные непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.

Данное уравнение сводится к линейному, если разделить на yⁿ и сделать замену z=y^1-n. На практике при решении уравнения Бернулли используют подстановку в исходном уравнении.

Пример 6.1.

Решение.

(*)

– общее решение

Пример 6.2. Определить тип дифференциальных уравнений

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия.

Опр. Дифференциальное уравнение вида называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Будем предполагать, что это уравнение разрешимо относительно n-ой производной, то есть (1)

Теорема о существовании и единственности решения уравнения (1).

Если в уравнении (1) функция и ее частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то в некоторой окрестности точки х₀ существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям: , , …, (2).

Условия (2) называются начальными условиями д.у. (1). Задача отыскания решения д.у. (1), удовлетворяющего условиям (2) называется задачей Коши для уравнения (1).

Задача Коши для д.у. второго порядка: Найти решение д.у. (3), удовлетворяющее условиям , , где х₀, у₀, – заданные числа.

Опр. Общим решением д.у. n-го порядка называется функция , если

1) она является решением при любых значениях постоянных с₁,с₂,…с_n (при подстановке обращает уравнения в тождества);

2) при любых начальных условиях (2), принадлежащих G, произвольные постоянные с₁,с₂,…с_n можно единственным образом подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.

Если решение получится в неявном виде , то его называют общим интегралом. Решение, полученное из общего решения при конкретных значениях с₁,с₂,…с_n называется частным решением.