Глава V. Дифференциальные уравнения

§ 1. Основные понятия и определения

При изучении различных явлений часто не удается найти закон, связывающий величины, характеризующий это явление. Однако можно установить зависимость между этими величинами и их производными.

Опр. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=y(x) и ее производные , , … , то есть соотношение вида

(1).

Опр. Порядком дифференциального уравнения называется высший из порядков входящих в это уравнение производных.

Примеры:

1. – д.у. первого порядка;

2. – д.у. второго порядка;

3. – д.у. четвертого порядка.

Опр. Решением дифференциального уравнения (1) называется n раз дифференцируемая функция, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Рассмотрим задачи, приводящие к (обыкновенным) дифференциальным уравнениям.

Задача 1.1. Радиоактивный распад.

Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. М₀ – начальное количество вещества. Найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t.

Решение.

Скорость радиоактивного распада равна , то есть производной от количества вещества М по времени t.

По условию: , где k – коэффициент пропорциональности.

«–», так как с возрастанием t количество вещества М уменьшается.

, проинтегрируем и получим . При t=0: .

Коэффициент k можно определить экспериментально. Например, для М₀=1ч определили, что . Значит, процесс распада протекает по формуле . Через 10 мин количество нераспавшегося вещества равно г.

Задача 1.2. Найти уравнение семейства кривых, зная, что угловой коэффициент касательной в каждой точке любой кривой семейства равен отношению ординаты этой точки к ее абсциссе, взятому с противоположным знаком.

Решение.

y=y(x) – уравнение кривой

, – д.у. первого порядка

– решение д.у., семейство гипербол.

Проверим, что – решение. , – тождество.

Задача нахождения решения д.у. называется интегрированием дифференциального уравнения, а график решения д.у. – интегральной кривой.

§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

В общем случае д.у. I^го порядка имеет вид

.

Если его можно разрешить относительно , то получим

– д.у., разрешенное относительно .

Д.у. первого порядка также можно записать в виде или .

Теорема Коши. Теорема о существовании и единственности решения д.у. .

Если в уравнении

(1)

функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, содержащей точку (х₀;у₀), то найдется интервал , на котором существует единственное решение y=y(x) этого уравнения, удовлетворяющее условию y(x₀)= y₀ (2).

Без доказательства.

Задача нахождения решения д.у. (1), удовлетворяющего условию (2) называется задачей Коши, а условие y(x₀)= y₀ называют начальным условием.

Другие записи начального условия: y= y₀ при х=х₀; .

Опр. Функция y=y(x,c), где с – произвольная постоянная, называется общим решением д.у. (1) в области D, если:

1. она является решением этого уравнения при любом значении с;

2. какова бы ни была точка (х₀;у₀), лежащая внутри D, существует единственное значение с=с₀ такое, что решение y=y(x,c₀) удовлетворяет начальному условию y(x₀)= y₀.

Опр. Частным решением д.у. (1) называется решение y=y(x,c₀), которое получается из общего решения y=y(x,c) при конкретном с=с₀.

Геометрическая иллюстрация

Общему решению соответствует семейство интегральных кривых (задача 1.2. – семейство гипербол).

Отыскание частного решения по начальному условию y(x₀)=y₀ геометрически означает, что из семейства интегральных кривых выбираем ту, которая проходит через точку (х₀;у₀). Согласно теореме Коши через каждую точку, в которой функции и непрерывны, проходит единственная интегральная кривая.

Точки (х;у), в которых не выполняются условия теоремы, называются особыми точками д.у. В этих точках и терпят разрыв. Через особую точку либо не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько.

Рассмотрим задачу 1.2.

– д.у.; – общее решение (семейство гипербол).

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(2)=1.

с=2 – частное решение.

Общему решению соответствует семейство гипербол. Частному решению – одна кривая этого семейства, проходящая через точку (2;1).

Замечание. Часто общее решение д.у. можно получить только в неявном виде, то есть в виде . Это равенство называют общим интегралом д.у. Если с=с₀, то получим частный интеграл.