3. Квантовые числа и их физический смысл.

Квантовыми числами: главным n,орбитальным l и магнитным m_l. Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения n=1,2,3….Орбитальное квантовое число l , при заданном n принимает значения l=0,1,…,(n-1) т.е. всего n значений и определяет момент импульса электрона в атоме. Магнитное квантовое число m_l, при заданном l может принимать значения m_l=0,±1,±2,…,±l, т.е. всего 2l+1 значений. Т.о. магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентаций. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m_l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

Билет 21.

Билет 21.

1 вопрос.

П1. Состояния системы описываются ненулевыми векторами ψ комплексного сепарабельного гильбертова пространства H , причем векторы ψ и ψ` описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда ψ`=cψ , где c- произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой A однозначно сопоставляется линейный эрмитов оператор Ã .

П2. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им эрмитовы операторы коммутируют. В результате измерения наблюдаемой, представляемой оператором Ã , может быть получено лишь одно из собственных значений λ оператора Ã . Вероятность Wn получить значение λn при измерении в состоянии ψ равна

Wn=|c_n|²

, где c_n - коэффициент в разложении ψ по полной системе собственных функций ψn оператора Ã :

Ψ=Σψ_n*c_n, где c_n=(ψ`,ψ).

П3. Эволюция системы определяется уравнением Шрёдингера

Iђdψ/dt=Ĥψ ,где Ĥ - гамильтониан.

П4. Каждому вектору ψ≠0 из пространства H отвечает некоторое состояние системы, любой эрмитов оператор Ã соответствует некоторой наблюдаемой.

В классической механике тоже возможны ситуации, когда невозможно точно предсказать результат измерения, однако эти ситуации возникают лишь в том случае, если начальное состояние системы не известно точно, а описано вероятностным образом (то есть известны лишь вероятности того, что система находится в каждом из нескольких различных состояний). В таком случае вероятностный характер предсказания является следствием неполного знания начального состояния, что легко понять. В квантовой механике вероятностный (недетерминированный) характер предсказаний является фундаментальным законом, от разброса результатов измерения нельзя избавиться, уточняя начальное состояние системы.

Вопрос 2.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Можно показать, что

D=|A₃|²/|A₁|²

Для того чтобы найти отношение |А3/А1|2, необходимо воспользоваться условиями непрерывности y и y' на границах барьера

Ψ₁(0)= ψ₂(0),

Ψ`<sub>1</sub>(0)= ψ`₂(0),

Ψ₂(l)= ψ₃(l),

Ψ`<sub>2</sub>(l)= ψ`₃(l),

Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты A2, A3, В1 и В2 через А1. Совместное решение уравнений (221.6) для прямоугольного потенциального барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей)

D=D₀exp(- h/2sqrt(2m(U-E)^l))

где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барьера, D0 — постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы т частицы, ширины l барьера и от (U—E); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произвольной формы, удовлетворяющей условиям так называемого квазиклассического приближения (достаточно гладкая форма кривой), имеем

D=D₀exp((от x₁ до x₂)- h/2sqrt(2m(U-E)^l)dx)

где U=U(x).

Билет 23.