2.3 Кореляційно-регресійний метод аналізу взаємозв'язків

Взаємозв'язок між факторною та результативною ознакою можна представити у вигляді функції Y=f(x), яку називають рівнянням регресії.

Для опису більш-менш рівномірної зміни результативної ознаки «у» під впливом факторної «х» використовують лінійну функцію регресії Y=a+bx. Якщо зміна результативної ознаки відбувається нерівномірно, але у певній закономірності, використовуються нелінійні функції:

а) степенева Y=ах^b;

б) гіперболічна Y=a+b/x;

в) параболічна Y=a+bx+cx².

Вибір та обґрунтування функціонального виду регресії ґрунтується на теоретичному аналізі суті зв'язку. На практиці використовується лінійна функція регресії, або приведена до її виду. В лінійній функції регресії параметр «а» вільний член рівняння регресії, показує значення результативної ознаки при «х»=0. Параметр «b» – коефіцієнт регресії, вказує на скільки зміниться значення «у», при зміні «х» на одиницю. У разі прямого зв'язку «b» – величина позитивна, зворотному – негативна.

Параметри лінійного рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, з системи нормальних рівнянь:

(2.2)

Звідси,

(2.3)

(2.4)

Для прикладу застосування кореляційно-регресійного аналізу, виміряємо взаємозв'язок між розміром інвестицій і обсягом видобутку вугілля в Україні за 1990-2000 роки (складено на підставі даних Статистичного щорічника України) табл. 2.2.

Таблиця 2.2 – Дані про розмір інвестицій і обсяг видобутку вугілля в Україні за 1990-2000 роки

Роки	Розмір інвестицій, млн. грн..	Обсяг видобутку вугілля, тис. т.	Роки	Розмір інвестицій, млн. грн..	Обсяг видобутку вугілля, тис. т.
1990	3660,5	164811	1996	1278,2	71655
1991	3554,4	135620	1997	1191,3	75900
1992	4676,2	133590	1998	1143,2	76156
1993	3216,2	115740	1999	1389,9	81100
1994	200,6	94441	2000	1483,4	80257
1995	1456,5	83600	Разом	23250,4	1112870

Для встановлення виду функціонального зв'язку побудуємо графік зміни розмірів інвестицій у вугільну промисловість і обсягів видобутку вугілля рис. 2.1. Для співставлення числових значень двох показників абстрагуємося від одиниць вимірювання двох показників та розділимо обсяг видобутку вугілля на 100.

На графіку чітко простежується постійне зменшення обсягів видобутку вугілля, розмір інвестицій коливається.

Рисунок 2.2 – Динаміка обсягів видобутку вугілля і розміру інвестицій

При неможливості встановлення залежності між ознаками за первинними даними, в статистиці, користуються методом укрупнення інтервалів (див. тему 4). Складемо обсяг видобутку і розмір інвестицій вугілля за кожні три роки. Отримані показники відобразимо на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3 – Динаміка обсягів видобутку вугілля і розмірів інвестицій по періодах

Графік на рисунку 2.3 дозволяє угледіти більш-менш рівномірну зміну обсягів видобутку вугілля та розмірів інвестицій, а значить застосування лінійного рівняння регресії. Для розрахунку параметрів лінійного рівняння регресії за формулами 2.2-2.4 складемо розрахункову таблицю 2.3.

Таблиця 2.3 – Розрахунок параметрів лінійного рівняння регресії

Роки	Розмір інвестицій, млн. грн..(х)	Обсяг видобутку вугілля, млн. т. (у)	ху	х2
1990	3660,5	164,811	603290,67	13399260,25
1991	3554,4	135,620	482047,73	12633759,36
1992	4676,2	133,590	624693,56	21866846,44
1993	3216,2	115,740	372242,99	10343942,44
1994	200,6	94,441	18944,86	40240,36
1995	1456,5	83,600	121763,40	2121392,25
1996	1278,2	71,655	91589,42	1633795,24
1997	1191,3	75,900	90419,67	1419195,69
1998	1143,2	76,156	87061,54	1306906,24
1999	1389,9	81,100	112720,89	1931822,01
2000	1483,4	80,257	119053,23	2200475,56
Разом	23250,4 (Σх)	1112,87 (Σу)	2723827,96 (Σху)	68897635,84 (Σх2)

Параметри b дорівнюватиме:

Для розрахунку параметра «а» необхідно визначити середнє значення факторної та результативної ознаки по формулі середньої арифметичної простої: =23250,4/11=2113,68; =1112870/11=101,17.

а=101,17-0,01881*2113,68=61,41

Лінійне рівняння регресії матиме вигляд:

у= 61,41+0,01881х

Це означає, що з зростанням інвестування вугільної промисловості України на 1 млн. грн.., обсяг видобутку вугілля збільшиться на 0,01881 млн. т. При відсутності інвестицій у вугільній промисловості обсяг видобутку вугілля складатиме 61,41 млн. т.

На обсяг видобутку вугілля впливає не тільки розмір інвестицій, а багато інших факторів: продуктивність праці, гірничо-геологічні умови залягання вугілля, технологічний рівень видобутку вугілля та ін. Важливо виміряти рівень впливу обраної факторної ознаки на значення результативної. Тобто, встановити щільність та істотність між взаємозв'язаними ознаками.