5.2 Показники варіації

Одна з умов, яка забезпечує репрезентативність середньої величини є дотримання якісної однорідності груп одиниць сукупності, на базі якої розраховується середній показник.

Однорідність статистичної сукупності визначається її внутрішньою побудовою, тобто ступенем наближеності варіантів сукупності відносно середньої величини.

Ця особливість внутрішньої побудови сукупності може характеризуватися розмахом або амплітудою варіації, тобто різницею максимального і мінімального значень варіантів (r=x_max-x_min), середнім лінійним та середнім квадратичним відхиленням.

Середня арифметична з абсолютних значень відхилень варіантів від їх середньої величини називається середнім лінійним відхиленням.

, (5.3)

де х_і – поточне значення варіантів;

– середнє значення ознаки у даній сукупності;

f_i – частота значень варіантів.

Найбільш досконалою мірою рівня варіації є дисперсія, яка представляє собою середнє арифметичне значення квадратів відхилень від їх середньої величини.

Середнє квадратичне відхилення отримують шляхом добування квадратичного кореня з дисперсії:

, (5.4)

, (5.5)

Для того, щоб порівняти ступень варіювання деякої ознаки у різних сукупностях, коли середнє значення його та показники варіації ( , σ) у кожній сукупності різняться або для різних ознак, використовується коефіцієнт варіації, тобто відсоткове відношення середнього квадратичного (лінійного) відхилення до середньої величини:

, (5.6)

, (5.7)

При К_σ ≤ 33% можна вважати, що сукупність за побудовою однорідна.

Приклад 5.4. Розподілення фермерських господарств за розміром земельної ділянки характеризується наступними даними, які наведені у графах 1-2 таблиці 5.25. Розрахувати дисперсію, середнє лінійне і квадратичне відхилення, лінійний і квадратичний коефіцієнт варіації, якщо . Проміжні розрахунки наведені у таблиці 5.25 графах 3-7.

Розрахунок дисперсії проведемо за формулою 5.4:

=

Добуток квадратичного кореня з дисперсії за даними прикладу дорівнює середнє квадратичному відхиленню:

=

Таблиця 5.25 – Розподіл фермерських господарств за розміром земельної ділянки

Земельна площа, га	Число ферм, % до підсумку	Середнє значення в інтервалі	Відхилення варіантів від середнього значення	Квадрат відхилень	Добуток квадрату відхилень на частоту,	Добуток абсолютної величини відхилень на частоту
	fi
1	2	3	4	5	6	7
до 5	29,5	2,5	-7,5	56,25	1659,37	221,25
5-10	28,2	7,5	-2,5	6,25	176,25	70,50
10-15	18,8	12,5	2,5	6,25	117,50	47,00
15-20	12,2	17,5	7,5	56,25	686,25	91,50
20-25	8,6	22,5	12,5	156,25	1343,75	107,50
25 і більше	2,7	27,5	17,5	306,25	826,87	47,25
Разом	100	Х	Х	Х	4809,99	585

Підставивши розрахункові дані нашого прикладу (табл. 5.25 гр. 7, 2) у формулу 5.3 обчислимо лінійне відхилення:

=

Квадратичний коефіцієнт варіації розрахуємо за формулою 5.6:

=

Лінійний коефіцієнт варіації визначимо за формулою 5.7:

=

Розраховані коефіцієнти варіації свідчать про наявну неоднорідність розподілу ферм, які розглядаються за розміром земельної площі.

Розрахунок дисперсій може бути значно спрощеним, якщо використати її властивості:

1. Якщо варіанти ознаки зменшити або збільшити на «А» одиниць, то це не вплине на величину дисперсії.

2. Якщо варіанти ознаки зменшити або збільшити в «h» разів, то дисперсія відповідно зменшиться або збільшиться в «h²» разів.

Спрощення на підставі даних властивостей, досягається заміною діючих варіантів «умовними».

Для цього використовується формула:

, (5.8)

де х_і – діючі значення варіантів ознаки;

а – одне з середніх значень інтервалів;

h – довжина інтервалу ряду розподілу.

Після виконання розрахунків дисперсія, розрахована для «умовних» варіантів, перераховується для «діючих» за формулою:

, (5.9)

Виконаємо розрахунок дисперсії , використовуючи дані прикладу 5.4. Проміжні результати розрахунків для обчислення дисперсії за формулою 5.9 наведемо у таблиці 5.26.

Таблиця 5.26 – Розподіл фермерських господарств за розміром земельної ділянки

Земельна площа, га	Число ферм, % до підсумку	Середнє значення в інтервалі	«Умовні» значення варіантів	Добуток «умовних» значень варіант на частоту	Добуток квадратів «умовних» значень варіант на частоту
	fi
1	2	3	4	5	6
до 5	29,5	2,5	-2	-59	118
5-10	28,2	7,5	-1	-28,2	28,2
10-15	18,8	12,5	0	0	0
15-20	12,2	17,5	1	12,2	12,2
20-25	8,6	22,5	2	17,2	34,4
25 і більше	2,7	27,5	3	8,1	24,3
Разом	100	Х	Х	-49,7	217,1

За даними графи 3 середнє значення інтервалу а=12,5, довжина інтервалу (гр. 1) h=5.

Самостійно розрахувати показники варіації за різними даними задач рекомендується студентам у наступному підрозділі.