Предварительный этап решения задачи в программе Excel

На предварительном этапе требуется определить:

1) нижнюю и верхнюю цены игры;

2) наличие седловой точки (их м.б. и несколько);

3) выделить чистые стратегии, оптимальные по Парето.

Если игра имеет седловую точку, то она может быть решена в чистых стратегиях. Тогда уже на предварительном этапе требуется определить и указать на листе Excel:

1) оптимальные чистые стратегии игроков;

2) оптимальную цену игры.

(Далее, при решении игры в смешанных стратегиях, оказывается, что вектор оптимальной смешанной стратегии содержит компоненты 0 с номерами, соответствующими неоптимальным чистым стратегиям, т.е. их вероятности применения равны 0 – они не применяются никогда.)

Пример. Допустим, задана игра с матрицей выигрышей

Здесь:

• игрок 1 – предприятие, игрок 2 – условия сбыта;

• Wi – различные варианты производственного плана предприятия (чистые стратегии игрока 1);

• Uj – варианты типичных условий сбыта продукции (чистые стратегии игрока 2).

С помощью программы Excel требуется произвести вычисления и далее на листе сделать комментарии в терминах теории игр и в терминах исходной задачи.

Все максимальные и минимальные элементы должны вычисляться по формулам!

В этой же книге на отдельном листе определите наличие стратегий, оптимальных по Парето, без вычислений, но с комментариями. Вычеркивание строк или столбцов отметьте путем их цветной заливки.

Обратите внимание, что при наличии одной седловой точки в результате вычеркивания строк и столбцов в матрице выигрышей должен остаться только один элемент. Если седловых точек нет (или их несколько), то не вычеркнутыми останутся несколько клеток матрицы.

Если игра не имеет седловой точки, то игроки не имеют оптимальных чистых стратегий, а игра не имеет оптимальной чистой цены игры. (Об этом так и напишите на листе!)

Например, в задаче о плане производства скоропортящейся продукции:

К началу ↑

Решение задачи в программе Mathcad

Не забудьте – сведения о применении программы Mathcad для решения задач оптимизации (и, главное, для задачи линейного программирования) помещены в описании лабораторной работы №2.

Отыскание оптимальных смешанных стратегий игроков сводится к решению двух задач линейного программирования.

Далее корректируем результаты при наличии чистого риска. Т.е. игрок 1 (предприятие) допускает возможным определенный уровень риска, предполагая известной стратегию игрока 2 (вероятности наступления условий сбыта). Цель – повысить оценку (прогноз) максимальной средней прибыли.

Для проверки корректности расчетов учтите, что:

1) при повышении значения R величина v2 должна возрастать;

2) при известной оценке смешанной стратегии q2 для игрока 2, как правило, оказывается, что оптимальная смешанная стратегия игрока p2 содержит одну компоненту равную 1 (вероятность одной из чистых стратегий равна 1, т.е. она оптимальна и поэтому применяется всегда), а остальные равны 0 (т.е. чистые стратегии с соответствующими номерами не применяются никогда).

По результатам проведенных расчетов сформулируйте (уже не в формальных терминах теории игр, а в терминах практической задачи!) рекомендации по формированию планов производства-сбыта для позиций крайней осторожности (нулевой риск) и для оптимистической позиции (допускается риск), а также, в качестве прогноза последствия принятия решения о формировании плана, – оценку максимальной средней ежедневной прибыли.

К началу ↑