Восьмий триместр

Тема 1. Загальні відомості про дослідження операцій

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Тема 2. Постановка задачі лінійного програмування. Програмування прибутку - максимальне збагачення у часі

10.

11.

12..

13.

14.

15.

16.

Тема 3. Складання математичних моделей задач ЛП

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

Дев’ятий триместр

56.

57.

58.

59.

60.

61. Паралельний метод розподілу ресурсів в мережному графіку виконання робіт.

62. Програмування прибутку при створенні мережного графіку.

63. Оптимізація без обмежень

64. Оптимізація з обмеженнями.

65. Однозначна нечітка система: мета аналізу, універсуми, лінгвістичні змінні, терми , функції належності нечітких систем.

66. Однозначна нечітка система визначення прибутку фірми у залежності від собівартості товару та ціни на ринку.

67. Задача рюкзака.

68. Розподіл обмежених ресурсів.

69. Заміна обладнання.

70. Управління виробництвом товарів та запасами на складах.

71. Найм та звільнення робітників. Динамічне програмування.

Контрольні питання

1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13

14.

15

16.

17..

18.

19

20.

21

22..

23.

24.

25.

26

27..

28.

29.

30. Розв’язання задачі ЛП прямим симплекс – методом в середовищі MathCAD застосуванням матричного метода. Скласти програму в MathCAD для першого кроку розрахунків.

F₁=4N x₁+x₂  max;

x₁+(9+N)x₂ -400 ≤ 0;

7Nx₁+x₂ -250 ≤ 0;

x₁≥0; x₂≥0,

N – порядковий номер студента у групі.

31. Розв’язання задачі ЛП прямим симплекс – методом застосуванням формул Жордана – Гаусса. Виконати розрахунки для двох рядків симплекс-таблиці, один з яких - вирішальний.

F₁=x₁+2Nx₂  max;

x₁+(2+N)x₂ -100 ≤ 0;

3Nx₁+x₂ -50 ≤ 0;

x₁≥0; x₂≥0,

N – порядковий номер студента у групі.

32. Розв’язання задачі ЛП двоїстим симплекс – методом. Виконати розрахунки для двох рядків симплекс-таблиці, один з яких - вирішальний.

2x₁- 4x ₂ + x ₃ = - 5;

x₁+ 2x₂ + x ₄ = 10;

F  2x₁ + 3x ₂ = 0.

33. Метод відсікаючих площин (метод Гоморі). Отримати одне додаткове рівняння і з його використанням виконати розрахунки для двох рядків симплекс-таблиці, один з яких - вирішальний.

(-1/2)x₁ + x ₂ – (1/4)x ₃ = 5/4;

2x₁+(1/2)x₃ + x ₄ = 15/2;

F  (7/2)x₁ + (3/4)x ₃ = - 15/4.

34. Початковий розподіл поставок за методом Північно-Західного кута. Визначити функцію мети.

aі	bj
	3N	60	20
N+10	2+N	1	12
20	5	N	4
N+40	4	9	6
30	7	10	N

35. Початковий розподіл поставок за методами найбільшої користі для постачальника та користувача. Визначити функцію мети.

aі	bj
	80	6N	40
30	N	11	14
2N+20	7	N+2	9
4N+40	7	8	6+N
30	9	15	20

36. Розв’язання Т-задачі за методом потенціалів. Визначити потенціали рядків, колонок та комірок. Зробити два кроки (заповнити дві нові таблиці) розрахунків

aі	bj
	2N	100+N	50
40	N	10	14
3N+10	6	2N	7
60	10	7	12
40	3	17	N

37. Розв’язання Т-задачі за методом потенціалів. Визначити потенціали рядків, колонок та комірок. Зробити два кроки (заповнити дві нові таблиці) розрахунків

aі	bj
	2N	60	40
N+10	2+N	1	12
20	5	N	4
N+40	4	9	6
30	7	10	N

38. Розв’язання Т-задачі за методом потенціалів. Визначити потенціали рядків, колонок та комірок. Зробити два кроки (заповнити дві нові таблиці) розрахунків.

aі	bj
	2N	40	100
40	N	8	2
30	7	3N	5
N+40	9	8	4
N+30	6	14	8

39. Метод фіктивного постачальника або фіктивного користувача в Т-задачі. Визначити потенціали, зробити два кроки (заповнити дві нові таблиці) розрахунків.

aі	bj
	N	120	80
70	N	10	2
2N+30	9	N+4	7
50	3	7	5
N+50	10	16	8

40. Т-задачі з додатковими умовами (заборона перевезення вантажу; точне перевезення вантажу d_ij; перевезення вантажу не більше за d_ij; перевезення вантажу більше за d_ij).

41. Отримання найбільшого прибутку в транспортній задачі. У таблиці вказані витрати на перевезення одиниці вантажу; студент визначає довільно для кожної комірки закупочну ціну та ціну продажу; прибуток розрахувати. N – порядковий номер студента у групі. Визначити потенціали, зробити два кроки (заповнити дві нові таблиці) розрахунків.

aі	bj
	4N	50	50
10	N	6	5
20	10	N+7	11
N+40	2	3	4
3N+30	5	9	N

42. Розв’язок задачі про оптимальне призначення із застосуванням середовища MathCAD. N – порядковий номер студента у групі.

aі	bj
	1	1	1
1	N	8	7
1	4N	2	16
1	10	12	5N
1	4	N	5

43. Розв’язати задачу комівояжера за методом редукції рядків та колонок. N – порядковий номер студента у групі.

N	1	2	3	4
1	-	N	50	20
2	3N+10	-	N+20	80
3	4N	10	-	N+6
4	70	80	60	-

N	1	2	3	4
1	-	10N	20	50
2	N	-	12N	80
3	20N	100	-	N
4	40	150	60	-

44. Розв’язати задачу комівояжера за методом підсумкових коефіцієнтів. N – порядковий номер студента у групі.

N	1	2	3	4
1	-	N+10	40	70
2	2N+6	-	4N+8	10
3	10N	80	-	2N+8
4	50	100	70	-

45. Упорядкування нумерації вершин мережі (10 вершин та 15 шляхів між ними) та вихід з лабіринту без урахування довжини шляхів. Вхід та вихід лабіринту обрати довільно.

46. Упорядкування нумерації вершин мережі (9 вершин та 16 шляхів між ними) та вихід з лабіринту без урахування довжини шляхів. Вхід та вихід лабіринту обрати довільно.

47. Найкоротший шлях в орієнтованій мережі (10 вершин та 18 шляхів між ними). Довжину шляхів, вхід та вихід мережі визначити довільно.

48. Найкоротший шлях в неорієнтованій мережі (8 вершин та 14 шляхів між ними). Довжину шляхів, вхід та вихід обрати довільно.

49. Елементи мережного графіку виконання робіт. Терміни мережного графіку виконання робіт. Програмування прибутку при створенні мережного графіку виконання робіт.

Номер роботи і=1...10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тривалість роботи Ті, діб	2N	5	4	6	N+2	2	3	12	4	4N
Норма ресурсів Ri, шт./добу	N	7	8	2N	10	5	N	5	N	10
Після виконання і-ої роботи можна виконувати роботи	5	6, 8	9	7	8	8	9	10	-	-

50. Кількість подій мережного графіку виконання робіт. Програмування прибутку при створенні мережного графіку виконання робіт.

Номер роботи і=1...10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тривалість роботи Ті, діб	6N	9	10	7	N+7	4	6	10	3	3N
Норма ресурсів Ri, шт./добу	2N	4	5	3N	14	7	2N	12	2N	15
Після виконання і-ої роботи можна виконувати роботи	5	6, 8	9	7	8	8	9	10	-	-

51. Визначення ранніх та пізніх термінів виконання подій. Критичний шлях мережного графіку виконання робіт. Програмування прибутку при створенні мережного графіку виконання робіт.

Номер роботи і=1...10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тривалість роботи Ті, діб	5N	7	10	11	2N+2	6	8	8	5	2N
Норма ресурсів Ri, шт./добу	2N	14	4	N	10	8	3	5	3N	10
Після виконання і-ої роботи можна виконувати роботи	5	6, 8	9	7	8	8	9	10	-	-

52. Лінійний мережний графік виконання робіт. Програмування прибутку при створенні мережного графіку виконання робіт.

Номер роботи і=1...10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тривалість роботи Ті, діб	N	8	12	12	2N+2	5	10	9	3	N
Норма ресурсів Ri, шт./добу	N	10	4	3N	12	3	2	6	4N	12
Після виконання і-ої роботи можна виконувати роботи	5	6, 8	9	7	8	8	9	10	-	-

53. Виконати мережевий графік. Дати опис послідовного методу розподілу ресурсів (таблицю не заповнювати). Програмування прибутку при створенні мережного графіку виконання робіт.

Номер роботи і=1...10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тривалість роботи Ті, діб	N	5	10	12	N+2	4	10	5	6	3N
Норма ресурсів Ri, шт./добу	2N	10	4	N	12	3	2	6	2N	8
Після виконання і-ої роботи можна виконувати роботи	5	6, 7	9	7	8	8	9	10	-	-

9-й триместр

54. Виконати мережевий графік. Дати опис паралельного методу розподілу ресурсів (таблицю не заповнювати). Програмування прибутку при створенні мережного графіку виконання робіт. N – порядковий номер студента у групі.

Номер роботи і=1...10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тривалість роботи Ті, діб	5	N	3	7	N+4	1	2	5	8	2N
Норма ресурсів Ri, шт./добу	N	12	8	2N	10	5	1	4	3N	6
Після виконання і-ої роботи можна виконувати роботи	6	5, 7	8	6	9	9	8	10	-	-

55. Загальний вигляд задачі нелінійного програмування.

56. Метод прямого пошуку.

57. Метод покоординатного спуску.

58. Метод прямого пошуку Хука-Дживса.

59. Градієнтний метод найшвидшого спуску

60. Метод штрафних функцій.

61. Розв’язати задачу нелінійного програмування методом множників Лагранжа.

Z = (X₁ + X₂)² --> Min;

X₁ + 7 X₂ = 2;

X₁ + 2X₂= 6;

X₁ > 0 , X₂ > 0

Ресурс xijР , млн. грн.	Прибуток ∆SijР і-го ресурсу j-го підприємства, млн. грн.
	j =1	j =2	j =3
1	1,2	0,12N	0,084N
2	0,15N	0,21N	1,4
3	0,27N	2,3	0,23N
4	0,29N	0,285N	0,28N

62. Принцип динамічного програмування. Задача обрання траекторії літака в орієнтованій мережі з кількістю вузлів 16 (4 рядки та 4 колонки). Використати для дуг витрати палива [N, ], [2N, ], [3N, ], [4N, ]. Інші значення витрат палива довільно обираються студентом.

63. Динамічне програмування орієнтованої мережі з кількістю вузлів 8 та кількістю дуг 16. Використати для дуг довжини шляхів N, 2N, 3N, 4N. Інші значення довжини шляхів довільно обираються студентом.

64. Динамічне програмування неорієнтованої мережі з кількістю вузлів 8 та кількістю дуг 16. Використати для дуг довжини шляхів N, 4N, 3N, 4N. Інші значення довжини шляхів довільно обираються студентом.

65. Комбінаторно - граничний метод розв’язання задачі завантаження транспортного засобу (задачі рюкзака): вантажність вантажної машини G=N тон, об’єм V=1,5N м³.

Тип речей, і	1	2	3	4
Кількість речей, штук	х1	х2	х3	х4
Вага однієї речі, gi тон	0,15N	0,22N	0,32N	0,4N
Об’єм однієї речі, vi м3	0,22N	0,31N	0,48N	0,6N
Прибуток від одиниці товару, рi тис. грн	7N	9N	23N	18N
Термін продажу одиниці товару, Ті діб	0,1N	5	3	2

93. Комбінаторно - граничний метод розподілу обмежених ресурсів. У таблиці наведені питомі прибутки: відношення прибутку до виділених підприємству ресурсів. N - порядковий номер студента у групі.

66. Комбінаторний метод розв’язання задачі оптимальної заміни обладнання. Прочаткова вартість обладнання - 2·N тис грн. (розрахунки виконати для двох етапів з кінця).

Характеристика обладнання	Вік обладнання, 0..5 років
	0	1	2	3	4	5
Вартість щорічного випуску продукції, тис. грн	10·N	9·N	8·N	5·N	3·N	N
Експлуатаційні щорічні витрати, тис. грн	0,1·N	0,2·N	0,3·N	0,5·N	0,7·N	N

67. Комбінаторний метод управління виробництвом товарів та запасами на складах. Максимальна виробнича потужність P_W=N+10, максимальна кількість місць на складі S_max= 7.

Характеристика	Етапи
	1	2	3	4	5	6	7
Зайнято місць на складі на етапах SE1…SE7
Реально виробено товарів на етапах РE1…РE7
Попит товарів на етапах РП1…РП7	N+14	7	N+15	N	3N	4	N+11

68. Комбінаторний метод розв’язання задачі про найом та звільнення робітників на протязі трьох місяців (j=1, 2, 3). x_j – фактична кількість робітників. Початкова кількість робітників х₀ =23. У початку робіт для 1-го місяця в таблиці показана ідеальна кількість робітників m_j = 5N; 10N; 7.

№	Місяць	Реальна кількість робітників				aj XHM	aj XZV	bj XM	bj XB	F	Комен- тар
		х0	х1	х2	х3
1	1	23	m1 = =5N	m2 = =10N	m3 = =7

Для аналізу процесу найму та звільнення використати формулу

F = a_j X_HM + a_j X_ZV + b_j X_M + b_j X_B ,

де a_j =N/3, якщо x_j > x_j-1; b_j=N/3, якщо x_j < m_j; a_j =N/5, якщо x_j < x_j-1; b_j=N/8, якщо x_j > m_j;

X_HM; X_ZV – загальна кількість наймань та звільнень робітників за весь трьохмісячний цикл роботи;

X_M; X_B - загальна кількість зайвих робітників (при x_j > m_j) та кількість робітників, яких не вистачало для виконання робіт (при x_j < m_j); N – порядковий номер студента у групі.

Додаткові питання.

1. Розв’язати за методом Гаусса систему рівнянь. N – порядковий номер студента у групі. Виконати два кроки розрахунків.

X₁ + X₂ +X₃ = 6+N;

3X₁ – 2X₂ +X₃ + X₄ =8+3N;

X₂+X₃+ 4X₄=21;

5X₁ – X₂ +X₃ + 3X₄ =18+5N;

X₁ +2X₂ +4X₃ + 5X₄ =37+N.

2. Графо-аналітичний метод розв’язання задачі лінійного програмування (N – порядковий номер студента у групі):

F(X) = X₁ + 5X₂ --> Max;

8·N·X₁ + 3·N·X₂ ≤ 250;

X₁ + 2·N·X₂ ≤ 150;

X₁≥0; X₂≥0.

3. Графо-аналітичний метод розв’язання задачі лінійного програмування (N – порядковий номер студента у групі).

Таблиця 1.Вирбництво двох виробів.

Ресурс	Норми витрат, кг/1вироб.
	Вироб 1	Вироб 2
Лист металу, 20·N кг	0,05·N	0,01·N
Пластмаса, 30·N кг	0,3	0,4·N
Деревина, 80·N кг	0,02·N	0,08·N
Кількість виробів, шт.	Х1	Х2
Прибуток, грн/шт	2N	3N

4. Графо-аналітичний метод розв’язання багатокритеріальних задач лінійного програмування. Розв’язати задачу лінійного програмування згідно математичної моделі (N-порядковий номер студента у групі) при наявності двох критеріїв:

f₁=x₁+(N/5)x₂ à max; 3x₁-x₂ ≤ 9N; x₁+x₂ ≤ 7N; x₁, x₂≥0.

f₂=(N/8)x₁-x₂ à min; x₁-x₂ ≤ - N; x₁+3x₂≥3N;

5. Скласти матричне рівняння, описати алгоритм і виконати два кроки розрахунків для розв’язання задачі прямим матричним симплекс-методом (задачу не розв’язувати, N – порядковий номер студента у групі):

F(X) = X₁ + 5X₂ --> Max; X₁ + 5·N·X₂ ≤ 150; X₁≥0; X₂≥0.

3·N·X₁ + 2·N·X₂ ≤ 250; 2X₂ ≤ 120.

6. Двоїстий симплекс-метод розв’язання задачі лінійного програмування на прикладі (зробити два кроки розрахунків, N – порядковий номер студента у групі):

F(X) = - X₁ - 5X₂ --> Max; X₁ - 5·N·X₂ ≤ - 50;

3·N·X₁ + 2·N·X₂ ≤ 250; X₁≥0; X₂≥0.

7. Розв’язати за графо-аналітичним методом задачу про суміші.

Види матеріалів, і	Загальна вага матеріалу в суміші, кг	Ціна 1 кг матеріалу, крб./кг	аij – вага j-го компоненту в одному кг i –го матеріалу, кг
1	х1	N	0,1·N	0,25·N	2
2	х2	2N	0,5	0,02·N	0,5
Потрібна вага j-го компоненту в суміші			2N	N	40

8. Прямий симплекс-метод розв’язання задачі лінійного програмування (зробити два кроки розрахунків, N – порядковий номер студента у групі):

F(X) = 3X₁ + 2X₂ --> Max;

2N·X₁ + N·X₂ ≤ 170;

X₁ + 3N·X₂ ≤ 120;

X₂ ≤ 4;

X₁≥0; X₂≥0;

9. Визначити початковий розподіл поставок в транспортній задачі за методом Північно-Західного кута. N – порядковий номер студента у групі.

aі	bj
	70	30	20+4N
4N	N	8	2
60	7	1	12
20	5	2N	4
40	10	9	N

10. Загальний вигляд задачи нелінійного програмування. Розв’язати задачу нелінійного програмування за методом множників Лагранжа. Отримати систему рівнянь, задачу не розв’язувати. N – порядковий номер студента у групі.

F=(4x₁-N)² + (x₁-2N)² à min;

3x₁+5x₂ = N;

4x₁+4x₂ = 2N.

11. Визначення циклу та перерозподіл постачання в транспортній задачі. Початковий розподіл отримати за методом Північно-Західного кута. Виконати два кроки розрахунків. N – порядковий номер студента у групі.

aі	bj
	30	50	20+N
N	N	5	6
60	3	8	10
10	2	3N	12
30	5	2	2N

12. Метод фіктивного постачальника та фіктивного користувача в транспортній задачі. N – порядковий номер студента у групі. Виконати два кроки розрахунків за методом потенціалів.

aі	bj
	5N	90	20
2N	N	6	9
30	3N	4	12
50	5	2	N
40+10N	6	4N	12

13. Розв’язати задачу комівояжера. Отримати один елемент шляху комівояжера.

Таблиця 2. Задача комівояжера.

N	1	2	3	4
1	-	5·N	8·N	10·N
2	N	-	20·N	3·N
3	4·N	20·N	-	2·N
4	6·N	10·N	30·N	-

14. Розв’язати задачу лінійного програмування прямим сімплекс-методом (зробити два кроки розрахунків).

F(X) = N·X₁ + 2N·X₂ --> Max;

5N·X₁ + 2X₂ < 100N,

4X₁ + 7N·X₂ < 150N,

X₂ < 4; X_j > 0.

15. Розв’язання транспортної задачі за методом потенциалів. Початковий розподіл – за методом найбільшої користі для постачальника. Виконати два кроки розрахунків.

aі	bj
	N	N +50	70
N	3N	N +10	15
40	5	4	14
30	7	6	4
50	6	N	2N

16. Розв’язання транспортної задачі за методом потенциалів. Початковий розподіл – за методом найбільшої користі для користувача.

aі	bj
	N	N +10	50
2N	N	N +10	12
40	6	8	10
20	2	3	N

17. Комбінаторно - граничний метод розподілу обмежених ресурсів. У таблиці наведені питомі прибутки: відношення прибутку до виділених підприємству ресурсів. N- порядковий номер студента у групі.

Ресурс xijР	Прибуток ∆SijР і-го ресурсу j-го підприємства, млн. грн.
	j =1	j =2	j =3
0	0	0	0
1	1,2	0,12N	0,084N
2	0,15N	0,21N	1,4
3	0,27N	2,3	0,23N
4	0,29N	0,285N	0,28N

18. Комбінаторний метод розв’язання задачі оптимальної заміни обладнання. Початкова вартість обладнання V₀=15N тис. грн., залишкова вартість VZ_t=0 тис. грн.

Характеристика Обладнання, тис. грн.	Вік обладнання, t
	1	2	3	4	5
Вартість продукції на ринку, Рt тис. грн.	30N	28N	22N	19N	16N
Експлуатаційні витрати, ЕКt тис. грн.	5N	9N	12N	14N	16N

88