5.7. Активное и внутреннее индуктивное сопротивление проводов

Активное и внутреннее индуктивное сопротивление проводников можно определить с помощью теоремы Умова – Пойнтинга в комплексной форме.

Перед тем, как записать теорему Умова – Пойнтинга 4.8) в комплексной форме, рассмотрим вопрос о полной мощности в цепи синусоидального тока. Полная мощность

Здесь - сопряженное значение комплекса тока .

Пусть цепь синусоидального тока содержит последовательно соединенные активные сопротивления R, индуктивность L и емкость С.

Тогда реактивная мощность

Здесь и где U_c – напряжение на конденсаторе.

Таким образом, реактивная мощность Q равна разности между магнитной W_М и электрической W_Э энергиями цепи, умноженной на 2.

Введем также в рассмотрение комплексный вектор Пойнтинга

П оследнее выражение отличается от мгновенного значения вектора Пойнтинга тем, что здесь комплексная величина вектора напряженности электрического поля умножается на сопряженное значение вектора напряженности магнитного поля.

С учетом этого, теорему Умова – Пойнтинга (4.8) можно переписать в следующем виде:

Первое слагаемое правой части данного выражения представляет собой активную мощность, второе – реактивную. Таким образом, теорему Умова – Пойнтинга можно записать еще следующим образом:

В таком виде ее и используют для определения активного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников на переменном токе. С этой целью подсчитывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на необходимой длине (например, 1 м) и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику, в результате чего и получают комплексное сопротивление проводника на этой длине

В качестве примера определим активное и внутреннее индуктивное сопротивление цилиндрического провода (см. рис. 5.11) на длине l:

(5.14)

Здесь d – радиус ( новое обозначение введено, чтобы отличать от сопротивления) проводника; и - комплексная амплитуда напряженности электрического поля и сопряженное значение комплексной амплитуды напряженности магнитного поля на поверхности проводника.

Используя формулу

а также выражения (5.11), (5.12) и (5.13), преобразуем уравнение (5.14) к следующему виду:

Если рассчитать сопротивление данного провода на длине l постоянному току, то оно будет равно 1.27310^-3l. Таким образом,

Отсюда видно, что активное сопротивление провода почти в четыре раза превышает сопротивление провода постоянному току.

Отметим, что если поле обладает цилиндрической симметрией, как в случае прямолинейного одиночного провода (обратный провод находится достаточно далеко) или в случае прямолинейного цилиндрического кабеля, то выражение для определения активного и внутреннего индуктивного сопротивления провода можно получить и иным путем

. (5.15)

Здесь - комплексное значение падения напряжения на длине l провода.

Ф ормула (5.15) просто получается и из выражения (5.14), если в нем заменить квадрат тока его значением, определенным с помощью закона полного тока