5.6. Поверхностный эффект в цилиндрическом проводе

Рассмотрим явление поверхностного эффекта при прохождении переменного синусоидального тока частотой  по цилиндрическому проводу кругового сечения. Предположим, что обратный провод находится настолько далеко, что влиянием магнитного потока, вызванного током в нем, на распределение тока в исследуемом проводе можно пренебречь. Решение будем проводить в цилиндрической системе координат (рис. 5.11), совместив ось oz с осью провода. Вследствие осевой симметрии линии магнитной индукции представляют собой окружности, лежащие в плоскостях, нормальных к оси провода, с центрами на этой оси. Таким образом, вектор имеет единственную составляющую и вектор - единственную составляющую . В силу осевой симметрии эти составляющие зависят только от r. С учетом этого первое уравнение Максвелла (закон полного тока) в цилиндрической системе координат ( = _z, H = H_) представляется в виде:

(5.9)

Второе уравнение Максвелла (закон электромагнитной индукции) может быть написано в форме

или (5.10)

Дифференцируя уравнение (5.9) по t, а уравнение (5.10) по r, имеем:

Из этих соотношений, с учетом уравнения (5.10), получаем уравнение для плотности тока:

Дифференцируя уравнение (5.9) по r и используя уравнение (5.10), получаем уравнение для напряженности магнитного поля:

Поскольку ток, а следовательно, также Н и  являются синусоидальными функциями времени, то последние уравнения можно записать для комплексных амплитуд в следующем виде:

Введением новой переменной последние два уравнения приводятся к более простому виду:

Эти уравнения являются частными случаями уравнения Бесселя:

Общий интеграл уравнения, как известно, имеет вид:

где А и В – произвольные постоянные; J_n(p) – функция Бесселя первого рода порядка n; Y_n(p) – функция Бесселя второго рода порядка n.

Следовательно, общие интегралы для комплексных амплитуд плотности тока и напряженности магнитного поля могут быть представлены в виде

Обозначим радиус сечения провода через R (рис. 5.11). Постоянные А₀, В₀, А₁ и В₁ определяются из граничных условий при r = 0 и r = R, то есть при р = 0 и р = R(-j)^0.5.

Поскольку функции Бесселя первого J₀(0) = 1 и J₁(0) = 0, а функции Бесселя второго рода Y₀(0) =  и Y₁(0) = , то, с учетом того, что на оси провода ни плотность тока, ни напряженность поля не могут принимать бесконечно больших значений, то В₀ = 0 и В₁ = 0. Постоянная А₀ равна комплексной амплитуде плотности тока на оси провода. Следовательно,

(5.11)

Напряженность магнитного поля может быть получена из уравнения (5.10):

или

(5.12)

При известном значении амплитуды I_m синусоидального тока, протекающего по проводнику, достаточно просто определяется значение плотности тока на оси провода . Для этого, используя закон полного тока, сначала определим значение напряженности магнитного поля на поверхности проводника:

(5.13)

Здесь Р_R – значение р при r = R.

Рассмотрим числовой пример. Пусть  = 1000₀;  = 10⁷ См/м; f = 50 Гц; d =10 мм (d - диаметр провода); I_m = 200 А. Найти распределение плотности тока и напряженности магнитного поля вдоль радиуса провода и определить значение плотности тока на оси провода.

В начале, используя формулы (5.11) и (5.12) построим зависимости _m/_m0 и H_m/H_mR в функции от радиуса r (H_mR – модуль амплитуды напряженности поля на поверхности провода). Эти зависимости представлены на рис. 5.12 и рис. 5.13.

К ак видно из рис. 5.12, распределение модуля плотности тока вдоль радиуса существенно неравномерно, так, если значение модуля плотности тока _m0 на оси провода равно 91280 А/м², то на поверхности значение модуля плотности тока _m = 1.311*10⁷ А/м², то есть возрастает более чем в 140 раз.

Здесь следует отметить, что помимо изменения модуля плотности тока изменяется и его фаза.

Распределение модуля напряженности магнитного поля также отличается от того распределения, которое мы бы наблюдали при постоянном токе (кривая 2 на рис. 5.13).

Рассмотрение рис. 5.12 и рис. 5.13 приводит нас к тем же общим физическим положениям, которые были установлены выше и которые характеризуют явление поверхностного эффекта во всех без исключения случаях. По мере проникновения волны вглубь провода она постепенно затухает, и амплитуды напряженности электрического поля и, соответственно, плотности тока убывают. При этом колебания по мере проникновения вглубь все более запаздывают по фазе по отношению к колебаниям на поверхности провода.