10. Определение наращенной суммы по годовой ставке сложных процентов

Для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяются сложная ставка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:

P- первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала ит.д.);

S – наращенная сумма на конец срока ссуды;

n– срок, число лет наращения;

i- уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого срока проценты равны величине , а наращенная сумма составит P+ =P*(1+i). К концу второго года она достигнет величины P*(1+i)+ P*(1+i)i= P*(1+i) и т.д. в конце n – го года наращенная сумма будет равна S=P*(1+ ) .

Проценты за тот же срок в целом таковы:

I=S – P = P*[(1+ ) _{- 1].}

_{Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет:}

_{I =P[}(1+ ) - (1 + ni)].

Очевидно, что с увеличением срока доля процентов на проценты в общей сумме начисленных процентов увеличивается.

11. Наращение по переменным сложным ставкам процентов.

Формулу наращения по сложным процентам можно применять не только для годовой процентной ставки, но и для других периодов начисления. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. Например, если i – ставка за полугодие, то n – число полугодий и т.д.

P- первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала ит.д.);

S – наращенная сумма на конец срока ссуды;

n– срок, число лет наращения;

i- уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.

S=P*(1+ )

I=S – P = P*[(1+ ) _{- 1]}

_{I =P[}(1+ ) - (1 + ni)].

12. Определение наращенной суммы по годовой ставке сложных процентов при дробном числе лет.

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков ля некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяются три метода:

1) Точные проценты: S=P*(1+ ) .

2) Смешанный – срок финансовой операции делится на две части: целую и дробную. На целую часть начисляются сложные проценты, а на дробную – простые.

n= +

S=P*(1+ ) *(1+ * )

3) Приближенный.

13. Определение дисконтированной суммы по формуле сложных процентов

При изучении простых процентов мы рассматривали математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Первое заключалось в определении P по значению S при заданной ставке процента, второе – при заданной учетной ставке. Применим первый метод и дисконтируем теперь сумму S по сложной ставке процентов. На основе

S=P*(1+ ) получим:

P=S/(1+ ) =Sv

v =(1+i) =1/q .

Величину v называют дисконтным, учетным, или дисконтирующим множителем.

Для случаев, когда проценты начисляются m раз в году, получим:

P=S/(1+j/m) =Sv

v =(1+j/m) .

Напомним, что величину P, полученную дисконтированием S, называют современной, текущей, стоимостью, или современной величиной S. Современная стоимость может быть рассчитана на любой момент до выплаты суммы S.

Разность S- P, в случае, когда P определено дисконтированием, называют дисконтом. Обозначим последний через D: D = S – P =S(1 -v )/