5.4.Исключительный случай для оптимального портфеля осторожного инвестора.

Ранее было выдвинуто предположение, что вектора m и e линейно - независимы. Предположим обратное, то есть

Таким образом, линейная зависимость векторов m и e означает, что на рынке ценных бумаг сложился исключительный случай, когда эффективности всех видов ценных бумаг одинаковы.

Теорема 3. Если на рынке продаются только ценные бумаги с одинаковой эффективностью, то можно составить оптимальный портфель лишь с такой же эффективностью.

Доказательство:

Достаточно доказать, что решение задачи

существует лишь при

Действительно, рассчитаем эффективность портфеля:

,

Теорема доказана.

С учетом теоремы 3 задача будет иметь вид:

Для решения задачи необходимо чтобы,

Так как

,

то необходимое условие выполнено. Воспользуемся теоремой о множителях Лагранжа:

Получаем систему уравнений:

Отсюда,

Лекция 6. Оптимальный портфель рискового инвестора.

Рассмотрим решение задачи составления оптимального портфеля для рискового инвестора. Для этого запишем задачу (30)-(32) в виде задачи нелинейного программирования:

при условиях

Теорема о множителях Лагранжа может быть применена, если градиенты ограничений.

линейно независимы.

Если существует , что

,

то вектора зависимы, тогда

Может ли этот вектор быть решением задачи нужно исследовать отдельно.

Предположим, что такого k не существует, тогда градиенты линейно независимы и применима теорема о необходимом условии. Из теоремы следует, что существуют два числа , , такие, что для решения x^* справедливо равенство:

или

(49)

Решим уравнение относительно :

(50)

Найдем и . Для этого подставим (50) в (44) и (45). Получим два уравнения для двух неизвестных:

,

где коэффициенты a₁₁, a₁₂, a₂₂ вычисляются как и в предыдущей главе.

Алгоритм расчета.

1. Из уравнения (52) выражаем и подставляем в уравнение (51). Получаем квадратное уравнение относительно . Получаем в общем случае два решения: и .

2. Из уравнения (52) находим и (соответственно).

3. Подставляем соответствующие множители Лагранжа в (50) и находим из (50) два вектора: и .

4. Определяем, какой из этих векторов является решением задачи.

5. Находим эффективность портфеля ценных бумаг.

6. Проводим анализ решения.

Лекция 7. Оптимальный согласованный портфель ценных бумаг.

Оптимальный согласованный портфель рассчитывается в случае, когда одновременно хотят получить приемлемые и согласованные значения эффективности и риска.

7.1. Решим задачу для аддитивного способа согласования, когда рассматривается задача:

В этой задаче имеется единственное ограничение:

,

так как

,

то условие применимости теоремы о множителях Лагранжа выполняется.

Поскольку

,

то применяя указанную теорему получаем:

,

откуда

,

или иначе

(55)

Подставим (55) в равенство (54) получим:

или

откуда

(56)

Алгоритм расчета:

1. Выбираем весовые коэффициенты k₁ и k₂ в зависимости от пожеланий инвестора.

2. Рассчитываем коэффициенты a₁₂, a_22.

3. Рассчитываем (по формуле 56).

4. Рассчитываем x^* (по формуле 55).

5. Рассчитываем риск портфеля.

6. Рассчитываем эффективность портфеля.

Теорема 1. Структура согласованного оптимального портфеля зависит от коэффициента относительного предпочтения:

Доказательство:

Подставим из равенства (56) в равенство (55).

Получим:

или иначе

(57)

Теорема доказана.

В случае независимых ценных бумаг формулу (6) можно упростить.

,

где i=1,…,n.

Теорема 2. Выбором коэффициента относительного предпочтения можно получать портфель с либо заранее заданным риском, либо с заранее заданной эффективностью.

Доказательство:

1. Докажем, что выбором K_опт можно получить портфель с любой, заранее заданной эффективностью.

Зафиксируем m_порт. Из формулы (57) имеем:

То есть

Откуда

(58)

2. Аналогично можно доказать, что выбором K_опт можно построить портфель с любым уровнем риска, большим чем некоторое заранее заданное число.

Д

(59)

ействительно, зададимся некоторым заданным уровнем риска _порт, рассчитаем V_порт=²_порт и найдем такое k_опт, чтобы уравнение:

имело решение.

Подставим (57) в (59):

Отсюда следует, что при

,

найдется соответствующее число .

Теорема доказана.

Замечание 1. Для каждого инвестора нужно составить свой коэффициент K_опт, который зависит от соотношения склонности к риску и желаемого размера прибыли.